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주요 내용

리만 합의 근사치(원값보다 클 때, 작을 때)

리만 합은 넓이의 근사치입니다. 따라서 넓이의 정확한 값이 아닙니다. 가끔은 원래의 값보다 크고, 가끔은 원래의 값보다 작습니다.

동영상 대본

왼쪽과 오른쪽 리만합이 있고 이는 x = 2와 x = 8 사이 y = g(x) 아래의 넓이를 근사합니다 여기 옅은 파란색 부분을 근사계산하고자 합니다 근삿값은 참값보다 작을까요? 아니면 클까요? 각각을 생각해 봅시다 왼쪽과 오른쪽 리만합에서 먼저 왼쪽을 봅시다 left는 왼쪽 리만합을 의미합니다 left는 왼쪽 리만합을 의미합니다 부분 구간이 몇 개인지는 나와있지 않으니 알아서 정하면 됩니다 부분 구간을 세 개로 해 보죠 부분 구간이 서로 같다고 해 봅시다 꼭 그럴 필요는 없지만 그렇다고 해 봅시다 첫 번째는 2에서 4까지 그 다음은 4에서 6까지 그 다음은 6에서 8까지입니다 왼쪽 리만합은 각 부분 구간의 왼쪽 끝점을 높이로 사용합니다 각 부분 구간의 왼쪽 끝점에서 함숫값을 계산해 근사할 사각형의 높이로 사용합니다 첫 번째 직사각형의 높이로는 g(2)를 사용합니다 이렇게요 다음 사각형에는 g(4)를 사용합니다 여기가 되겠죠 그리고 마지막으로 세 번째 사각형에는 g(6)을 높이로 합니다 이렇게 그려보고 나면 왼쪽 리만합은 참값보다 큽니다 왜 그렇냐고요? 근사계산하는 넓이는 사각형 안에 들어있는데 이 사각형들엔 남는 넓이가 있기 때문에 항상 근사하려고 하는 넓이보다 큽니다 항상 근사하려고 하는 넓이보다 큽니다 그리고 일반적으로 해당하는 구간에서 감소하는 함수가 있다면 해당하는 구간에서 감소하는 함수가 있다면 전체 구간에서 단조감소한다면 부분 구간의 왼쪽 끝값으로 근사하면 참값보다 큰 값을 얻게 됩니다 왼쪽 끝점에서 함숫값은 부분 구간의 다른 어느 점보다 함숫값이 큽니다 부분 구간의 다른 어느 점보다 함숫값이 큽니다 이것이 감소하는 함수일 때 왼쪽 리만합이 참값보다 큰 이유입니다 이제 오른쪽 리만합을 생각해 봅시다 이미 이 반대일 것이라 추측할 수도 있겠지만 시각화 해 봅시다 같은 부분 구간 세 개를 사용합시다 이번엔 부분 구간의 오른쪽 끝점을 높이로 사용하겠습니다 이 첫 번째 사각형의 높이는 g(4)입니다 이 첫 번째 사각형의 높이는 g(4)입니다 바로 여기죠 두 번째는 g(6)이고 여기에 해당합니다 세 번째는 g(8)입니다 해당하는 사각형을 칠해 놓겠습니다 해당하는 사각형을 칠해 놓겠습니다 이것이 이 넓이를 근사하는 오른쪽 리만합입니다 이것은 참값보다 작다는 것이 확실히 보여집니다 이것은 참값보다 작다는 것이 확실히 보여집니다 이 각각의 구간에서 오른쪽 리만합에 사용하는 사각형들은 구하고자 하는 넓이의 일부분입니다 구하고자 하는 넓이의 일부분입니다 여기 있는 넓이를 포함하지 않습니다 여기 있는 넓이를 포함하지 않습니다 그리고 이는 다시 이 함수가 단조감소함수이기 때문입니다 따라서 어느 부분 구간에서라도 오른쪽 끝점을 사용해 높이를 정의하면 오른쪽 끝점을 사용해 높이를 정의하면 오른쪽 g의 값은 부분 구간에서 가장 낮은 g의 값이기 때문에 그 구간에서 평균 높이라고 할 수 있는 값보다 낮은 값입니다 그 구간에서 평균 높이라고 할 수 있는 값보다 낮은 값입니다 그래서 이 경우에는 참값보다 낮습니다 만약 함수가 단조증가한다면 이 두 개는 반대로 바뀌고 당연히 단조증가도 단조감수도 아닌 함수도 많습니다 당연히 단조증가도 단조감수도 아닌 함수도 많습니다 그러면 그땐 함수에 따라 달라집니다 어떤 경우엔 정한 부분 구간에 따라 참값보다 큰지 작은지가 정해집니다