예시: 표를 이용하여 리만 합 찾기

f의 그래프와 x축 사이 x =1에서 x = 10까지의 넓이를 f의 그래프와 x축 사이 x =1에서 x = 10까지의 넓이를 f의 그래프와 x축 사이 x =1에서 x = 10까지의 넓이를 오른쪽 리만합을 이용해 세 개의 부분 구간으로 근사계산한다고 해 봅시다 이를 위해 f의 값의 표가 주어졌습니다 동영상을 멈추고 근사 계산을 그래프와 x축 사이 x가 1에서 10까지의 넓이를 그래프와 x축 사이 x가 1에서 10까지의 넓이를 세 개의 부분 구간과 오른쪽 리만합을 이용해 풀어보세요 해 보았다고 가정하고 같이 풀어보겠습니다 흥미롭네요 함수 전체의 그래프가 주어진 것이 아니라 특정 점에서 함숫값이 주어졌는데 특정 점에서 함숫값이 주어졌는데 보게 되겠지만 이것이면 근사 계산을 할 수 있습니다 이 점들만으론 근사가 얼마나 정확한지는 알 수 없지만 적어도 오른쪽 리만합을 이용한 근삿값은 구할 수 있습니다 오른쪽 리만합을 이용한 근삿값은 구할 수 있습니다 여기 축을 그려보겠습니다 제가 리만합을 구할 때는 그래프 없이도 할 순 있지만 그래프로 시각화하면 이해하는데 도움이 됩니다 그래프로 시각화하면 이해하는데 도움이 됩니다 x가 1에서 10까지이고 여기가 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9, 10입니다 x가 1일 때 f의 값이 주어졌고 2와 3을 지나 4일 때 5, 6을 지나 7일 때 8, 9를 지나 10일 때가 주어졌습니다 x가 1일 때부터 6, 8, 3, 5 순입니다 표시해 보죠 8까지 가야 하니까 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8입니다 x가 1일 때 f(1)은 6임을 압니다 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8이니 바로 여기가 f(1)입니다 점 (1, 6)이죠 그리고 점 (4, 8)은 여기 쯤입니다 (7, 3)도 있죠 y = f(x)이니 (7, 3)은 여기입니다 y = f(x)이니 (7, 3)은 여기입니다 (10, 5)는 여기입니다 (10, 5)는 여기입니다 함수에 대해 아는 것은 이것 뿐입니다 정확히 생김새는 알 수 없습니다 이렇게 생겼을 수도 있고 이럴 수도 있습니다 함수가 아닌걸 그렸네요 이럴 수도 있습니다 아주 빠르게 왔다 갔다 할 수도 있고 아주 부드럽게 이럴 수도 있습니다 아주 부드럽게 이럴 수도 있습니다 이렇게 점을 연결 할 수도 있는데 알 수 없습니다 하지만 세 개의 부분 구간과 오른쪽 리만 합을 이용해 근사계산은 할 수 있습니다 어떻게 하냐고요? x가 1에서 10까지의 넓이를 생각하고 있습니다 x가 1에서 10까지의 넓이를 생각하고 있습니다 경계를 확실히 하겠습니다 이건 x가 1에서 10까지입니다 그리고 세 개의 같은 부분 구간이 필요합니다 여기엔 자연스럽게 부분 구간이 생기는데 부분 구간을 3씩으로 정하면 이것이 부분 구간이고 이것도 부분 구간입니다 리만 합을 구할 때 세 부분 구간이 같을 필요는 없지만 그런 경우가 많긴 합니다 이렇게 1부터 10까지 3씩 세 개의 동일한 구간으로 나누었습니다 이것은 3, 이것도 3 이것도 3입니다 이제 문제는 이 부분 구간의 높이를 결정하는 것인데 사각형이 되어야 하죠 이제 오른쪽 리만합이 필요합니다 왼쪽 리만합을 사용한다면 각 부분 구간의 왼쪽 경계를 사용해 함숫값을 구하고 사각형의 높이를 정의합니다 왼쪽 리만합은 이렇습니다 하지만 오른쪽 리만합을 해야 합니다 각 부분 구간의 오른쪽 경계로 높이를 정의하면 첫 번째 구간에서 x가 4일 때의 오른쪽 경계는 f(4)는 8입니다 따라서 그것을 첫 사각형의 높이로 사용합니다 이것이 이 부분의 곡선에 대한 넓이의 근삿값입니다 두 번째도 마찬가지로 오른쪽 리만합을 사용하므로 오른쪽 경계의 함숫값을 사용합니다 오른쪽 경계는 7이고 함숫값은 3입니다 따라서 두 번째 직사각형은 이렇습니다 넓이를 근사할 두 번째 부분 구간이죠 마지막으로 세 번째 부분 구간의 오른쪽 경계를 사용합니다 x는 10이고 f(10)은 5입니다 이렇습니다 세 개의 부분 구간을 사용한 오른쪽 리만합을 사용해 넓이를 근사하면 이렇습니다 사각형의 크기를 더하면 됩니다 첫 번째 직사각형의 너비는 3입니다 높이는 얼마인가요? 높이는 f(4), 8입니다 따라서 24입니다 단위가 어떻든 말이죠 여기는 3과 높이인 3을 곱합니다 f(7)은 3이니까요 따라서 9가 됩니다 그리고 여기 너비는 3이고 높이는 f(10)으로 4입니다 3 x 5는 15입니다 3 x 5는 15입니다 따라서 넓이의 근삿값은 이 세 값을 더한 값입니다 따라서 넓이의 근삿값은 이 세 값을 더한 값입니다 24에 9와 15를 더하면 또 24이니 24와 24를 더하면 48입니다 되었네요 표의 값만을 사용해 근삿값을 구했습니다 근삿값이 얼마나 정확한지는 알 수 없습니다 함수가 어떤지에 따라 다르죠 아주 좋은 근삿값일 수도 있습니다 함수가 이럴 수도 있고 함수가 이럴 수도 있고 함수가 이럴 수도 있고 함수가 이럴 수도 있고 그러면 아주 좋은 근삿값입니다 그러면 아주 좋은 근삿값입니다 아니면 함수가 이럴 수도 있는데 그러면 아주 나쁜 근삿값입니다 어쨋든 적어도 오른쪽 리만합과 표를 이용해 근삿값을 구했습니다