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주요 내용

중점의 합

곡선 아래에 있는 넓이를 직사각형으로 쪼개어 구할 때, 각 직사각형의 구간의 중점에 있는 높이를 사용하여 넓이를 구하는 것입니다.

동영상 대본

이번 동영상에서는 곡선 아래 넓이를 근사하는 방법을 이해해 보도록 하겠습니다 곡선 아래 넓이를 근사하는 방법을 이해해 보도록 하겠습니다 예제를 위해 y = x² + 1의 곡선을 사용하도록 하겠습니다 이 곡선 아래와 x축 위의 넓이를 생각해 봅시다 x = -1에서 x = 2까지요 바로 이 넓이를 말합니다 바로 이 넓이를 말합니다 방법이 여러가지 있는데 제가 할 것은 이것을 세 개의 같은 구간으로 나누는 것입니다 이것을 세 개의 같은 구간으로 나누는 것입니다 이는 직사각형의 너비를 이룹니다 그리고 이 직사각형의 높이를 정하는 여러 방법에 대해 생각해 보겠습니다 세 개의 너비가 같은 직사각형으로 근사계산을 해 볼텐데 세 개의 너비가 같은 직사각형으로 근사계산을 해 볼텐데 세 개의 너비가 같은 직사각형으로 근사계산을 해 볼텐데 세 개의 너비가 같은 직사각형으로 근사계산을 해 볼텐데 그리고 이 직사각형의 높이를 정하는 여러 방법에 대해 생각해 보겠습니다 그럼 먼저 각 직사각형의 높이를 그럼 먼저 각 직사각형의 높이를 중점의 함숫값으로 정의해 봅시다 이렇다고 볼 수 있습니다 이게 실제로 말이 되는지 생각해 봅시다 이게 실제로 말이 되는지 생각해 봅시다 먼저 첫 번째 직사각형을 보면 그보다 먼저 x를 나누어서 x = -1에서 x =2의 구간을 세 개의 같은 구간으로 나누었고 각각 너비가 1입니다 더 나은 근사치를 원한다면 더 많은 구간 더 많은 직사각형을 사용합니다 이걸 어떻게 계산하는지 알아봅시다 이것은 각각 너비가 1입니다 높이는 중점에서의 함숫값에 기반합니다 높이는 중점에서의 함숫값에 기반합니다 여기에서 중점은 -1/2이고 이것의 중점은 1/2 이것은 중점은 3/2입니다 따라서 이것의 높이는 (-1/2)² + 1입니다 따라서 이것의 높이는 (-1/2)² + 1입니다 (-1/2)²은 1/4이고 1을 더하면 5/4입니다 이것의 높이는 5/4입니다 5/4에 1을 곱하면 넓이는 5/4입니다 적어 놓죠 따라서 각 직사각형의 높이를 중점으로 정한다면 따라서 각 직사각형의 높이를 중점으로 정한다면 첫 번째의 넓이는 5/4입니다 첫 번째의 넓이는 5/4입니다 첫 번째의 넓이는 5/4입니다 두 번째도 똑같습니다 (1/2)² + 1은 5/4이고 1인 너비를 곱합니다 따라서 5/4입니다 이것도 더해줍니다 5/4를 더합니다 그리고 이 세 번째 직사각형의 높이는 무엇일까요? 중점을 높이로 정하므로 3/2의 제곱은 9/4이고 1을 더하면 13/4입니다 따라서 높이는 13/4입니다 그리고 너비는 1이니까 1을 곱하면 13/4입니다 13/4를 더해 줍니다 그러면 23/4가 되고 5와 3/4와 같습니다 이건 보통 중점근사라고 하고 각 구간의 중점을 직사각형의 높이를 정의하는 데 사용합니다 하지만 이 방법만 있는 것은 아닙니다 왼쪽 끝점을 볼 수도 있고 오른쪽 끝점을 볼 수도 있습니다 다른 동영상에서 그렇게 해 봅니다 여기서 잠깐 한 번 해 보죠 여기서 잠깐 한 번 해 보죠 구간의 왼쪽 끝점을 보면 구간의 왼쪽 끝점을 보면 여기서 왼쪽 종점은 -1이고 여기서 왼쪽 종점은 -1이고 (-1)² + 1은 2입니다 2에 1을 곱하면 2입니다 여기 구간의 왼쪽 부분은 x = 0입니다 0² + 1은 1입니다 1 x 1은 1입니다 여기는 왼쪽 끝점이 1입니다 1² + 1은 2이며 너비인 1을 곱하면 2입니다 이 경우 왼쪽 끝점을 사용하면 2 + 1 + 2 그러니까 5입니다 2 + 1 + 2 그러니까 5입니다 구간의 오른쪽 끝점을 볼 수도 있습니다 구간의 오른쪽 끝점을 볼 수도 있습니다 이 첫 직사각형은 첫 구간 아래의 넓이를 과소추정 하고 있습니다 첫 구간 아래의 넓이를 작게 근사하고 있습니다 오른쪽 끝점은 0이고 0² + 1은 1입니다 따라서 높이가 1이고 너비가 1이면 넓이는 1입니다 두 번째 사긱형은 오른쪽 끝점을 보면 높이는 1² + 1이고 2와 같습니다 너비인 1과 곱하면 2입니다 여기 오른쪽 끝점은 2이며 제곱해서 1을 더하면 5고 너비 1을 곱하면 5입니다 따라서 이 경우에 구간의 오른쪽 끝점을 보면 1 + 2 + 5로 8입니다 1 + 2 + 5로 8입니다 1 + 2 + 5로 8입니다 눈으로만 보아도 확실히 덜 세는 경우보다 더 세는 경우가 많습니다 확실히 덜 세는 경우보다 더 세는 경우가 많습니다 따라서 이건 크게 근사한 것입니다 여기서의 중요한 점은 이 직사각형을 이용해 근사계산을 할 수 있다는 것입니다 이 직사각형을 이용해 근사계산을 할 수 있다는 것입니다 상상할 수 있듯이 더 얇은 직사각형, 구간을 더 많이 더하면서 x = -1에서 x = 2까지의 같은 구간을 다루면 x = -1에서 x = 2까지의 같은 구간을 다루면 참값에 대한 더 나은 근삿값을 얻을 수 있습니다 참값에 대한 더 나은 근삿값을 얻을 수 있습니다