리만 합을 사용한 거리, 속력, 시간 문제

자전거 선수는 페달을 밟기 시작하며 12초 동안 가속합니다 2초 간격으로 기록된 자전거 선수의 속도 v(t)는 아래의 표에 나와있습니다 각 시간대별 속도를 보여줍니다 4초 뒤의 속도는 7.5 초당 피트입니다 8초 뒤의 속도는 9 초당 피트입니다 속도와 시간에 대한 그래프를 생각해 봅시다 속도 대 시간이죠 R(6)이 오른쪽 함수값의 세로 길이를 가지는 서브디비전이 동일한 직사각형들의 넓이의 합과 같다고 합시다 이는 R(6)은 12초 동안 이동한 총 거리를 피트로 나타낸 것과 같다는 것을 의미합니다 R(6)의 값은 무엇인가요? 영상을 잠시 멈추고 혼자 풀어보세요 저는 순서대로 풀 것이며 제가 푸는 도중에 어떻게 풀지 감이 잡힌다면 영상을 멈추고 혼자 풀어보세요 문제의 뜻을 알아봅시다 속도 대 시간의 그래프를 생각하라고 합니다 한번 그려봅시다 그래프 용지를 준비 했습니다 그리고 제 1 사분면에 집중을 합시다 왜냐하면 모든 시간 값과 속도는 양수이기 때문이죠 이 축이 시간을 나타내고 이 축은 시간 함수인 속도를 나타냅니다 시간은 0과 12 사이이고 2초 간격으로 기록됩니다 따라서 0, 2, 4, 6, 8 10 그리고 12가 있습니다 그리고 속도는 0에서 10까지 있으며 단위는 초당 피트입니다 따라서 0, 2, 3, 4, 5 몇개의 값을 표시해보겠습니다 6, 7, 8, 9, 10 이 값은 초당 피트의 단위이며 이 축은 초 단위입니다 0초일 경우를 그려봅시다 속도는 0입니다 2초일 경우는 6 초당 피트입니다 4초일 경우는 7.5 초당 피트죠 6초일 경우 8.5이고 8초일 경우 8.5입니다 8초일 경우는 9 초당 피트입니다 10초일 경우 9.5 초당 피트이며 12초일 경우 10 초당 피트입니다 10 초당 피츠죠 방금 그래프에 테이블에 주어진 값들을 표시 했습니다 속도 대 시간의 그래프에 적어도 주어진 값들은 모두 표시했죠 그래프는 다음과 같은 곡선이 되겠죠 해당 점들은 그래프에서 나온 값들이며 해당 값들은 다음과 같은 곡선을 이룹니다 속도 대 시간의 그래프를 한번 살펴봅시다 이제 오른쪽 함수값을 세로 길이로 가지고 서브디비전이 동일한 직사각형들의 넓이의 합을 구해봅시다 서브디비전이 같다는 뜻은 한 축 혹은 시간 축을 따라서 서브디비전이 동일하다는 뜻입니다 이 경우 첫 12초인 경우고 첫 12초를 6개로 균등히 나누면 2초의 넓이를 가집니다 이게 그중 하나죠 다른 색을 사용할게요 이 길이는 2초죠 새로운 색이 아니네요 이 각 길이들은 2초입니다 초록색과 대조되는 색을 골라볼게요 각 직사각형은 2의 가로 길이를 갖고 직사각형의 세로 길이를 설명하기 위해 처음부터 시작하겠습니다 오른쪽 함수값을 세로길이로 가지는 직사각형이라 했습니다 이게 무슨 뜻인가요? 이는 직사각형의 세로 길이를 오른쪽의 함숫값으로 결정한다는 것입니다 예를 들어 이 첫 번째 직사각형은 오른쪽 함숫값으로 세로 길이를 결정한다면 2초에 있기 때문에 2초에 속도는 6 초당 피트입니다 따라서 이 값이 직사각형의 세로 길이가 됩니다 다음 직사각형은 이렇게 생겼죠 그렇다면 왼쪽의 함숫값을 세로의 길이로 가지는 직사각형은 어떨까요? 왼쪽의 함숫값을 세로 길이로 가지는 직사각형은 이렇게 생겼겠죠 첫 번째 직사각형은 왼쪽 함숫값이 세로 길이가 되며 이 값은 0입니다 따라서 값은 0입니다 그리고 다음 직사각형은 왼쪽 함숫값이 2이기 때문에 함숫값이 6입니다 따라서 왼쪽 함숫값을 세로 길이로 가지는 직사각형은 이렇게 생겼습니다 하지만 오른쪽 함숫값을 세로로 가지는 직사각형을 구하라고 했으니 해당 값들을 구해봅시다 한번 봅시다 이 직사각형이 첫 번째 오른쪽 함숫값을 세로로 가지는 직사각형입니다 이 직사각형이 두 번째입니다 윗 부분을 그리겠습니다 세 번째, 네 번째 다섯 번째, 그리고 여섯 번째 윗 부분을 그리죠 이렇게 생겼을 것입니다 이렇게 말이죠 이게 세 번째입니다 이게 네 번째입니다 이게 다섯 번째입니다 이게 여섯 번째죠 R(6)는 이 모든 직사각형들의 합이며 그리고 R(6)는 12초 동안 이동한 총 거리의 근사치를 피트 단위로 나타낸 것입니다 왜 그럴까요? 왜 넓이의 합이 이동한 거리의 근사치와 같나요? 미적분학을 배우기 전에 일정한 속도를 가진다면 거리는 속도 곱하기 시간입니다 이는 일정한 속도를 가진다고 가정했을 경우입니다 여기서 하지만 속도는 변합니다 여기서 가속을 합니다 하지만 1초 혹은 2초인 한 구간안에 속도가 일정하다고 가정을 한다면 거리를 가늠할 수 있습니다 그렇다면 한 구간안에 속도를 가정을 한다면 속도를 추정할 수 있습니다 이 직사각형들을 사용하여 우선 첫 번째 직사각형을 봅시다 이 직사각형의 넓이를 구한다면 무엇을 해야 할까요? 가로와 세로를 곱합니다 세로는 2초일 경우의 속도이며 가로는 2초입니다 6 초당 피트를 곱하기 2초 입니다 이는 12 피트이며 확실히 말해봅시다 해당 직사각형의 넓이는 6 초당 피트 곱하기 속도입니다 이는 속도이지만 속도의 방향에 대해선 신경을 쓰지 않습니다 6 초당 피트 곱하기 2초 이는 12피트입니다 이는 가정치이고 이는 2초에서 특정 속도일 경우라 해당 값의 과대 평가인가요 아니면 과소 평가인가요? 이는 구간에서 가장 빠른 속도를 사용한 것이기 때문에 과대 평가입니다 구간은 자전거 선수가 0 초당 피트에서부터 시작합니다 이는 생각을 해보면 값을 과대 평가하는 것이며 영상을 멈추고 한 번 생각해 보세요 왼쪽 함숫값을 세로 길이로 사용을 한다면 값을 과소 평가하는 것이며 이는 구간에서 가장 느린 속도를 세로로 갖고 구간에 곱하는 것이기 때문입니다 이는 가정치입니다 R(6)의 값이 무엇인지 구해봅시다 R(6)의 값은 직사각형의 넓이 이전에 말했듯이 6 초당 피트 곱하기 2초 입니다 따라서 이는 12 피트이며 해당 직사각형은 7.5 초당 피트 곱하기 2초이기 때문에 해당 값은 15 피트입니다 여기 이 넓이입니다 3피트 더 크죠 하나, 둘, 그리고 둘의 반이기 때문에 3피트 더 큽니다 해당 직사각형의 넓이는 8.5이며 구간의 마지막에 속도는 8.5 초당 피트 곱하기 2초인 17 피트입니다 더하기 해당 구간의 마지막 속도인 9 초당 피트 곱하기 2초이며 이는 더하기 18입니다 해당 넓이의 속도는 직사각형의 세로 길이와 같습니다 구간 마지막에서 속도는 9.5 초당 피트 곱하기 2 초인 19입니다 따라서 19를 더해줍니다 마지막으로 구할 넓이는 구간에서 마지막 속도인 10 초당 피트 곱하기 2초인 20입니다 따라서 20을 더해줍니다 총 합이 얼마인가요? 이 부분에선 실수를 할 수 도 있겠네요 12 + 15 = 27 27 + 10 = 37 더하기 7은 44이며 44 더하기 18은 62입니다 62 더하기 19는 81이며 더하기 20은 101입니다 피트 단위죠 R(6)은 101피트입니다 이는 12초동안 이동한 총 거리의 근사값입니다 이는 매 구간마다 가장 빠른 속도를 사용해서 구했기 때문에 과대 평가된 값입니다 가장 느린 속도를 사용하면 과소 평가가 되겠죠 만약 구간의 왼쪽 속도를 사용하여 값을 구한 다음에 둘의 평균을 냈다면 중간의 값을 구했겠네요 첫 번째 구간의 세로 길이를 3으로 하는 방식이죠 다음 영상에서 보여드리겠습니다