합의 표현에서 리만 합: 심화 문제

아래는 함수 F입니다 24개의 오른쪽 변을 기준으로 하는 직사각형의 합이 제시되어있습니다 그럼 오른쪽 변을 기준으로 하는 직사각형이 무엇을 뜻할까요? 24개의 직사각형이 있습니다 세어보실 수 있습니다 그리고 오른쪽 변을 기준으로 하는 직사각형은 각각의 직사각형에서의 높이가 오른쪽 변의 함숫값으로 정의되는 것을 의미합니다 정의되는 것을 의미합니다 그럼 이것이 첫 번째 직사각형의 오른쪽 변의 길이라고 볼 수 있고 그 점에서의 함숫값을 구하면 직사각형의 높이가 됩니다 왼쪽 변의 길이를 기준으로 하는 직사각형은 직사각형의 높이를 직사각형의 왼쪽 변의 함숫값으로 정의합니다 직사각형의 왼쪽 변의 함숫값으로 정의합니다 그래서 첫 번째 직사각형의 왼쪽 변을 기준으로 하는 직사각형의 높이는 이렇게 생겼을 겁니다 직사각형의 높이는 이렇게 생겼을 겁니다 그게 바로 오른쪽 변을 기준으로 하는 직사각형을 뜻합니다 좋습니다, 파란색이 8개이고 보시면 빨간색이 16개입니다 좋아요 직사각형 24개는 모두 폭이 같습니다 아래의 진술 중 어떤 것이 참입니까? 아래의 진술 중 어떤 것이 참입니까? 시그마를 사용한 세 식을 보여주고 시그마를 사용한 세 식을 보여주고 첫 번째는 파란 직사각형 넓이의 합이고 이건 빨간 직사각형 넓이의 합이고 이건 빨간 직사각형 넓이의 합이고 이건 모든 직사각형 넓이의 합이라고 말합니다 이건 모든 직사각형 넓이의 합이라고 말합니다 지금 동영상을 일시정지하고 어떤 진술이 참인지 스스로 결정해 보시기를 바랍니다 어떤 진술이 참인지 스스로 결정해 보시기를 바랍니다 그럼 한번 해보셨다고 가정하겠습니다 하나하나 살펴보고 맞는 말인지 알아봅시다 첫 번째, 파란 직사각형 넓이의 합입니다 물론 1 2 3 4 5 6 7 8개의 파란 직사각형이 있는 것을 알고 있고 1부터 8까지를 더합니다 그럼 여기 있는 여덟 개를 더하는 것처럼 보일 겁니다 그럼 여기 있는 여덟 개를 더하는 것처럼 보일 겁니다 이건1 2 3 4 5 6 7 8 입니다 이건1 2 3 4 5 6 7 8 입니다 그럼 보기 좋아보입니다 그리고 나서 F를 반으로 나눕니다 그리고 나서 F를 반으로 나눕니다 아직 이것도 보지 않았습니다 이게 각 직사각형의 높이가 될 것 같습니다 이게 각 직사각형의 높이가 될 것 같습니다 오른쪽 변의 함숫값을 높이로 두고 있고 이것이 폭이 될 것이라는 것을 기억해두세요 높이로 두고 있고 이것이 폭이 될 것이라는 것을 기억해두세요 높이로 두고 있고 이것이 폭이 될 것이라는 것을 기억해두세요 그럼 각 직사각형의 폭이 1/2이라는 것이 말이 될까요? 물론 x=-5와 x=7사이의 거리는 12입니다 물론 x=-5와 x=7사이의 거리는 12입니다 물론 x=-5와 x=7사이의 거리는 12입니다 5 더하기 7, 즉 12이고 이를 같은 폭의 24개 직사각형으로 나눕니다 이를 같은 폭의 24개 직사각형으로 나눕니다 그럼 12를 24로 나누면 각각은 1/2의 폭을 가지게 됩니다 각각은 1/2의 폭을 가지게 됩니다 1/2를 확인했습니다 이제 이 부분에 대해서 생각해봅시다 F(-5+i/2)에 대해 생각해봅시다 F(-5+i/2)에 대해 생각해봅시다 그럼 봅시다 i=1일 때 F(-5+1/2)에 1/2을 곱할 것입니다 1/2을 곱할 것입니다 그렇죠? i=1이므로 -5+1/2은 여기 이 점이 될 것입니다 여기 이 점이 될 것입니다 이것의 F는 이 거리 즉 이 높이가 될 것입니다 오른쪽 변을 기준으로 하는 직사각형과 같습니다 오른쪽 변을 기준으로 하는 직사각형과 같습니다 i=1일 때 분명히 여기 있는 넓이를 찾게 되는 것은 자명합니다 i=1일 때 분명히 여기 있는 넓이를 찾게 되는 것은 자명합니다 i=1일 때 분명히 여기 있는 넓이를 찾게 되는 것은 자명합니다 i=2라면 -5+2/2가 됩니다 i=2라면 -5+2/2가 됩니다 2/2 즉 1을 더할 것이고 여기로 넘어가면 다시 여기 있는 1/2을 곱합니다 여기로 넘어가면 다시 여기 있는 1/2을 곱합니다 여기로 넘어가면 다시 여기 있는 1/2을 곱합니다 즉 이 높이인 F(-5+2/2) = F(-4)에 즉 이 높이인 F(-5+2/2) = F(-4)에 폭을 곱한 것입니다 그럼 다시 한번 이 넓이가 됩니다 이렇게 계속 따라 하실 수 있습니다 첫 번째는 -5+1/2이고 이 함수를 취할 때마다 각 증분으로 1/2씩 더하게 되고 이 함수를 취할 때마다 각 증분으로 1/2씩 더하게 되고 이 함수를 취할 때마다 각 증분으로 1/2씩 더하게 되고 추측건대 오른쪽 변은 한 방향으로만 생각하면 됩니다 추측건대 오른쪽 변은 한 방향으로만 생각하면 됩니다 그럼 실제로 완벽히 이치에 맞게 됩니다 이 과정을 처음 8개에 하게 되므로 참이 됩니다 파란색 직사각형의 넓이의 합입니다 파란색 직사각형의 넓이의 합입니다 이제 여기 있는 것을 알아봅시다 빨간색 직사각형 넓이의 합입니다 처음에는 꽤 흥미로워 보였습니다 16개의 합을 찾는 것이고 실제로 여기에 16개가 있습니다 실제로 여기에 16개가 있습니다 16개 각각의, 즉 우리가 넓이를 구하고 싶어 하는 직사각형 16개 각각의, 즉 우리가 넓이를 구하고 싶어 하는 직사각형 각각의 폭을 알고 실제로 각각의 폭이 1/2인 경우입니다 실제로 각각의 폭이 1/2인 경우입니다 하지만 F(-1+i/2)를 구하면 어떤 일이 발생할까요 하지만 F(-1+i/2)를 구하면 어떤 일이 발생할까요 그래서 -1에서부터 시작하겠습니다 그래서 -1에서부터 시작하겠습니다 -1+i/2 i=1일 때 여기 이 점이 될 것이고 i=1일 때 여기 이 점이 될 것이고 여기서의 함숫값은-- 이봐요, 이 직사각형의 높이가 되는 것 아닌가요? 이봐요, 이 직사각형의 높이가 되는 것 아닌가요? i=2일 때 이 직사각형의 높이가 되는 것 아닌가요? i=2일 때 이 직사각형의 높이가 되는 것 아닌가요? 그리고 i=3일 때 이 직사각형의 높이가 되는 것 아닌가요? 라고 물어보실 수도 있습니다 그리고 그것이 바로 주의해야 할 점입니다 모두 동일하게 명확한 값을 가질 것이지만 이들은 모두 음의 값을 가지게 될 겁니다 이 함숫값을 보면 이들 모두 음의 값을 가지게 됩니다 이 함숫값을 보면 이들 모두 음의 값을 가지게 됩니다 이 함숫값을 보면 이들 모두 음의 값을 가지게 됩니다 그래서 -1/2부터 7까지의 함수가 실제로 음의 값을 가지는 것처럼 보입니다 실제로 음의 값을 가지는 것처럼 보입니다 한 가지 생각해야 될 점은 높이로 음의 값을 가지기 때문에 이 두 개를 곱하면 음수가 나온다는 것입니다 그럼 이 전체는 음수가 될 것이고 그럼 이 전체는 음수가 될 것이고 반드시 빨간색 직사각형의 합으로 음수를 가지게 될 겁니다 하지만 빨간색 직사각형들의 넓이의 합과는 다릅니다 넓이는 예상할 수 있듯이 최소한 관용적으로 만약 이것을 단순히 이 면적을 덮으려면 얼마나 많은 카펫이 필요한지 보고 있다면 누군가는 양의 값을 가진다고 말할 겁니다 보고 있다면 누군가는 양의 값을 가진다고 말할 겁니다 하지만 이건 (-) 버전이 될 겁니다 하지만 이건 (-) 버전이 될 겁니다 그러므로 이것은 빨간색 직사각형의 넓이의 합이 아닙니다 그러므로 이것은 빨간색 직사각형의 넓이의 합이 아닙니다 빨간색 직사각형의 넓이의 합에 (-)를 붙인 값입니다 그럼 하나 제거했습니다 그리고 마지막 선택지는 모든 직사각형의 넓이의 합을 표현한 겁니다 모든 직사각형의 넓이의 합을 표현한 겁니다 i=1부터 24까지가 되고 i=1부터 24까지가 되고 즉 24개가 됩니다 여기서부터 시작하고 계속해서 갈 겁니다 그리고 만약 i=1부터 i=8까지를 얘기한다면 첫 번째 선택지가 될 것이지만 그다음 다시 한번 문제가 생깁니다 될 것이지만 그다음 다시 한번 문제가 생깁니다 i=9가 되면 이것은 음수로 변하고 i=9가 되면 이것은 음수로 변하고 넓이가 음수가 됩니다 그럼 본질적으로 양의 값을 가지는 넓이와 여기 있는 음의 값을 가지는 넓이에 망을 치게 됩니다 그러므로 모든 직사각형의 넓이의 합이 되지 않고 본질적으로 이 넓이에서 이 넓이를 뺀 값이 됩니다