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주요 내용

합의 표현에서 중점과 사다리꼴의 합

직사각형 대신 사다리꼴을 사용하여 그래프 아래의 넓이의 근사치를 더 가깝게 구할 수 있습니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

금방본 몇 영상에서 사각형을 이용해서 곡선아래 영역의 근사치를 구해왔었는데 각 사각형의 높이는 왼쪽경계선의 함수로 정의되죠 그래서 이것은 첫번째 사각형이 될 것입니다 그리고 두번째 사각형은 대략 이렇게 될 거에요 그리고나서 n번째 사각형까지 정할수 있어요 아마 이렇게 될 것입니다. 그리고 우리가 보듯이 이것이 첫번째 사각형 이것이 두번째 사각형 그리고 n번째 사각형이에요 그리고 우리가 보던 방식대로 여러분이 이 모든 사각형의 합을 구할 수 있어요 이 영역은 대략 i는 1부터 n까지의 합이에요 그리고 i는 사각형의 순서를 말하죠 우리가 이야기 했던 순서요 그리고나서 다음에 할 것은 높이와 밑변을 곱하는 것입니다. 그러면 각 사각형의 높이는, 이 경우 첫번째 사각형의 높이는 0에서 정해진 함수이고 두번째 사각형의 높이는 1에서 정해진 함수 n번째 사각형의 높이는 sub n-1에서 정해진 함수에요 한 사각형 i의 높이는 sub i -1에서 정해진 함수로 적을 수 있죠 만약 i가 2라면, 1에서 계산되는 것이고 i가 2였으면 이건 x1에서의 함수로 표시되죠 그래서 이것은 왼쪽 경계선인 것이에요 그 다음엔 우리는 너비를 곱해야만 합니다. 이전 몇몇 영상과 이 영상에서 모든 사각형은 동일한 너비를 갖고 있다고 가정합니다. 이제 동일한 너비를 델타 x라고 부르죠 델타 x를 구하기 위해서 전체 길이을 알아야만 해요 x축 방향의 전체 길이요 이것은 (b-a)를 우리가 알고자하는 사각형숫자로 나눈 값이에요 그리고 나서 델타 x로 곱해요 자, 여러분은 아마도 이것이 사각형을 이용해서 합을 구하는 유일한 방법은 아닐거라고 생각할 지도 모르겠어요 혹은 이것이 기하학적 모양의 몇몇 형태를 이용해서 영역을 추정하거나 합을 구하는 유일한 방법은 아닐거라고 생각할 수도 있어요 예를 들면, 사각형을 만들때 높이는 우측경계로 정한 경우인데 한번해보죠 여기 첫번째 사각형이 있어요 그리고 우측경계로 높이를 정해요 사각형의 높이요 그러면 여기 오른쪽에 사각형이 있고 높이는 f(x1)이 됩니다. 그리고 나서 바로 여기에 우리는 오른쪽 경계값을 얻어요 오른쪽 경게는 높이가 되죠 만약 이런식으로 주욱 해나가면 이건 두번째 사각형이 되면 그리고 n번째까지 나가면 우측 경계는 사각형의 높이를 의미하게 됩니다. 그래서 이경우에는 이것이 n 번째 사각형이고 어떻게 합을 적으면 될까요 음, 이것이 합이 될거에요 기억하세요? 우리가 방금 영역을 추정했잖아요 i=1부터 n까지 곡선아래 영역을 정했어요 i는 각 사각형의 순서에요 그리고 첫번째 사각형의 높이는 f(x1)이고 n번째 사각형의 높이는 f(xn)이 되요 여기 높이는 f(xn)이죠 그리고 i번째 사각형의 높이는 f(xi)가 됩니다. 사각형 숫자가 무엇이든지 간에 x sub 숫자를 이용하고 그 숫자의 함수를 평가해요 그걸로 높이를 얻을 거에요 그리고 그것을 델타 x로 곱해요 그래서 이것과 여기 사이의 차이는 i번째 사각형에 대해서 x sub를 이용하고 (i-1), 즉 왼쪽 경계를 이용해요 여기 우측 경계는 f(xi) 를 이용해요 음, 여기서 멈출 필요는 없어요 대신 두 경계사이의 가운데점을 이용할 수도 있어요 경계대신에요 자, 예를 들어 여기에 0과 1사이에 가운데 점을 이용할 수 있다면 사각형의 높이를 찾기 위해서요 그런 여기에서요 이것은 f(x0) 더하기 f(x1) 나누기 2인데 바로 이들 두점 사이의 가운데점이에요 사각형이 높이를 구하는 것이죠 이렇게 될거에요 그리고 다음 것은 가운데를 정하고 높이를 구하기 위해서죠 그리고 n번째까지 가는 거에요 이렇게 해서 사각형의 양 측면의 가운데를 정하고 함수는 사각형이 얼마나 높을지 계산합니다 그리고 대략 이렇게 될거에요 그리고 합은 어떨까요 음, 다시 아까처럼 각 사각형을 계산하는데 i=1부터 i=n까지요 우리가 보고있는 사각형 순서고 그래서 이것이 첫번째, 이것이 두번째것이에요 그리고 이것이 n번째에요 그러면 높이는 이제 f( xi-1) 함수나 f(xi)함수로 평가되지 않습니다. 가운데 점에서 계산된 함수를 쓰게될거에요 xi-1 더하기 xi사이의 가운데점이요 이것은 2로 나누고 델타 x로 곱해요 델타 x는 지금까지 나왔던 것과 같은 것이에요 자 이제 마지막으로 좀 새로운 추정법을 써봅시다 좀 더 독창적이에요 왜 사다리꼴을 쓰면 안될까요? 자, 한번해보죠 여기 사다리꼴의 우측이고 높이는 f(x0)에요 그러면 f(x0) 그리고, 사다리꼴의 우측은 f(x1)이 됩니다. 그리고 나서 여기 여기 모든 것을 해보죠 그러면 첫번째 사다리꼴 두번째 사다리꼴은 이렇게 될 것이고 거의 사각형과 같아요 하지만, 꼭대기는 완전히 편평하진 않다고 가정해요 그리고 나서 n번째까지 갑니다 사다리꼴을 하고 있는것이에요 n번째는 이렇게 보일 거에요 그러면 어떻게 사다리꼴 영역을 계산할까요? 음, 사다리꼴 영역은 두변의 평균높이 곱하기 밑변이라는 것을 알아야 합니다. 그래서 여기에선, 자, 적겠습니다. 여기 영역은 높이의 평균이고 그래서 f(x0) 더하기 f(x1)이 되고 이건 모두 2로 나눠요 그리고 나서 델타 x로 곱합니다. 그러면 이것이 바로 영역이 됩니다. 두 높이의 평균을 구해서 밑변으로 곱했어요 잊, 우리가 여기 사다리꼴이 영역의 합을 구하고자 한다면 쉬운 용어로 쓰자면 다시한번 여기 적어볼 수있어요 사다리꼴을 계산해봅시다 이것이 첫번째 사다리꼴, 이것이 두번째 n번째 사디리꼴까지 i=1부터 n까지에요 사다리꼴의 높이는 왼쪽 경계의 함수를 이용할 겁니다. xi-1, 다음 함수의 평균이에요 좌측경계에서 계산된 함수,그리고 우측경계에서 계산된 함수 그 다음 평균을 구하고 밑변으로 곱합니다 이렇게 하는 이유는 결국 계산법이 여러가지라는 것을 보여주려는 것 입니다 그리고 사실, 여러분이 정말로 일반적인 것을 알고 싶다면 다른 너비를 이용할 수도 있어요 하지만, 그렇게 하면 좀 더 복잡해지죠 정말로 단지 보여주기 위한 것이 될거에요 미적분책이나 미적분 준비과정 책에서나 볼 수있는 것일 겁니다. 이 모든 것은 사다리꼴영역의 합을 구하는 것과 사각형영역의 합인데 사각형은 높이를 정하기 위해서 사각형의 우측 경계를 이용하든 왼쪽경계나 좌우측경계의 가운데를 이용하든 사다리꼴을 구성해서 계산할 수 있다는 것입니다.