예시: 합의 표현에서 리만 합

제가 이 비디오에서 하고 싶은 것은 몇번의 시행을 통해, 곡선 밑의 영역을 추정하고 이 맥락에서 시그마 기호와 좀 더 친숙해 지는 것입니다. 그래서 우리가 여기에서 가지고 있는 것은, f(x)가 1+0.1x ²인 그래프입니다. 그것은 바로 여기에 있는 곡선입니다. 그리고 우리는 이 곡선 아래의 영역을 추정하기 위한 직사각형들을 가지고 있는데, 그 영역은 x=0에서 부터 x=8 입니다. 그리고 이 도표 혹은 우리가 하려고 하는 것은 4개의 직사각형으로 나누어져 있습니다. 그래서 우리는 이것은 직사각형1. 이것은 직사각형2, 직사각형3, 그리고 직사각형4라고 할 수 있습니다. 그리고 그것들의 각각의 길이는, 그것의 구간은 각각 너비 2를 가지고 있는 것처럼 보입니다. 그래서 그것들은 동등하게 공간을 차지합니다. 우리는 0에서 8까지, 그것을 네개의 영역으로 나누어, 그래서 각각은 너비 2를 가지고 있고, 그래서 각각의 너비는 2가 됩니다. 그래서 그것은 2, 그것은 2, 그것은 2 입니다. 그리고 그것들의 높이는 그것들의 중점에 기반을 둔 것처럼 보입니다. 그래서 시작하기 전에, 직사각형의 왼쪽과 오른쪽 측면 사이에서 당신은 중간의 함숫값을 구하게 됩니다. 그래서 예를 들어, 바로 여기에 있는 것의 높이는 f(1)의 값 처럼 보입니다. 바로 여기에 있는 것의 높이는 f(3)의 값처럼 보입니다. 이 직사각형의 높이는 f(5) 입니다. 이 직사각형의 높이는 f(7) 입니다. 그래서 이것이 설정된 것을 고려해 볼때, 우리는 곡선 아래의 영역으로, 아래의 영역을 추정함으로서 이 직사각형들의 합을 구하고자 하는데, 우리가 어떻게 시그마 기호를 쓸 수 있을까요? 그리고 저는 그것을 시작할 것인데, 저는 당신이 이 비디오를 멈추고 그것을 끝내기를 장려합니다. 그래서 이것들의 합, 이 직사각형들이 합, 우리는 이것이 우리가 네 개의 직사각형들을 갖고 있기 때문에 n이 1에서 4까지 일때, 합이라고 말할 수 있습니다. 그리고 저는 당신이 이것을 끝내기를 장려합니다. 사실상 함수를 대신 나타내기 위해서, 함수기호를 쓰십시오. 당신은 그것은 1 더하기 무언가의 제곱으로 쓸 필요는 없습니다. 그래서 저는 당신이 그것을 시작했다고 추정하면서 각각의 것들에 대해서, 처음으로 바로 여기에 있는 첫번째 직사각형에 대해서, 우리는 2에 높이를 곱할 것입니다. 그래서 바로 이 도형의 높이는 1 이고 이것은 첫번째 직사각형이고, 당신은 아마도 f(n)이라고 명명하고 싶어 질 것입니다. 그러나 그것은 두번째 직사각형에 적용했을 때 분해됩니다. 두번째 직사각형에서 2는 여전히 곱해지지만 이것은 직사각형의 너비인, 2 이지만 우리는 현재 f(3)을 곱하기를 원하지 f(2)를 곱하기를 원하지는 않습니다. 그래서 이 f(n)은 이전의 집합으로 도달하지 않을 것입니다. 그리고 보면, 우리가 원하는 것을 생각해봅시다. 그래서 n이 1,2,3,4로 늘어날때, 우리는 f(n)을 가지게 될 것이며, 무언가의 함수값을 가지게 될 것입니다. 그래서 여기에서, 이 첫번째 것으로 우리는 f(1)을 가지게 될 것입니다. 그리고 여기에서, 두 번째 직사각형으로 우리는 f(3)을 가지게 될 것입니다. 높이로 f(3)을 가지게 되는 것이죠. 세번째 직사각형으로, 우리는 f(5)의 값을 가지게 됩니다. 그리고 네번째 직사각형으로 우리는 f(7)의 값을 가지게 됩니다. 그래서 여기에서의 관계는 무엇일까요? 함께 봅시다. 그것은 각각에 2를 곱하고 1을 빼는 것처럼 보입니다. 그래서 2 곱하기 1 빼기 1은 1입니다. 2 곱하기 2 빼기 1은 3입니다. 2 곱하기 3 빼기 1은 5입니다. 2 곱하기 4 빼기 1은 7입니다. 그래서 이것은 2n-1이라는 규칙을 가집니다. 그래서 각각의 직사각형들의 영역은 2를 기반으로 하고 높이는 f(2n)---f(2n-1) 입니다. 그래서 그것은 함수에 있어서 조금 더 명확하게 만들어 줍니다. 시그마 기호와 우리가 하려고 하는 것 사이에서 말이죠. 그리고 현재, 재미로 사실상 이것이 값을 구해봅시다. 이것의 수치를 어떻게 구할까요? 이것의 수치는 2 곱하기, n이 1과 동등할 때 이것은 1이 됩니다. f(1) 곱하기 2는, n이 2일때, f의 2 곱하기 2 빼기 1은 3이기 때문에, f(3)이 됩니다. n이 3일때, 이것은 2 곱하기 f(5)가 될 것입니다. n이 4일때, 이것은 2 곱하기 f(7)이 될 것입니다. 4 곱하기 2 빼기 1은 7, f(7) 입니다. 그러나 우리는 바로 여기에 있는 것들의 수치를 구해야 합니다. 그래서 사실상, 저는 더 정확한 값을 가지기 위해 명확하게 해 보겠습니다. 이것에 대해 저는 약간 지저분하다고 느낍니다. 그래서 이것은. 사실상, 우리는 2를 빼낼 수 있습니다. 그래서 이것은 2곱하기 f(1)과 같아질 것인데, f(1)은 1 더하기 0.1입니다. 그래서 그것은 1 더하기 0.1입니다. 그래서 그것은 1.1입니다. 우리가 그것들을 찾아 나아가기 위해서 색깔로 표시를 해보겠습니다. 그래서 바로 여기에 있는 것은 1.1이고, 그래서 1 더하기 0.1 은 1.1입니다. 바로 여기에 있는 것, f(3). 그래서 1 더하기, 0.1 곱하기 3의 제곱은 9입니다. 그래서 1 더하기 0.9. 그래서 1 더하기, 그것은 1.9 네요. 그리고 나서 바로 여기에 있는 f(5)를 봅시다. 이것은 1 더하기, 즉 5의 제곱인 25에 0.1을 곱한 것은 2.5입니다. 그래서 1+2.5는 3.5가 될 것입니다. 그리고 마침내 f(7), f(7)은 1 더하기 0.1 곱하기 7의 제곱이 될 것입니다. 그래서, 이것은 49 곱하기 0.1 이고, 49 곱하기 0.1은 4.9이며 1을 더하면 5.9, 결국 5.9를 더하는 것입니다. 그래서 이것은 무엇과 같아질까요? 한번 봅시다. 1.1 더하기 1.9 이 두개의 합은 3이 됩니다. 그리고 이 두개의 합은 , 봅시다, 만약 우리가 5를 더하면, 우리는 8.5를 갖게 되고, 0.9를 더하면 9.4를 갖게 됩니다. 그래서 9.4를 더하세요. 제가 잘 하고 있습니까? 3+5=8. 0.5+0.9=1.4이죠. 그래서 이것은 , 우리가 이 모든 값에 2를 곱하면, 12.4에 2를 곱한 값인 24.8이 될 것인데, 이것은 우리의 추정값과 같습니다. 다시 한번, 이것은 단지 X가 0일 때 부터 8일때 까지의 곡선 아래의 영역을 직사각형을 이용해 구한 추정값입니다.