리만 합 기호적 표현

지난 동영상에서 우리는 동일한 폭의 사각형 4개를 만들고 지난 동영상에서 우리는 동일한 폭의 사각형 4개를 만들고 각 사각형의 왼쪽 변의 길이 즉 왼쪽 경계의 함숫값을 높이로 하여 각 사각형의 넓이의 합으로 곡선 아래의 면적을 근사했습니다 이번 동영상에서 제가 하고 싶은 것은 임의의 경계와 직사각형의 개수로 임의의 함수에 대해서 앞에서 시도한 방법을 일반화시키는 것입니다 그럼 이제 한번 해 볼까요 저는 최대한 명확하게 보여주기 위해서 그래프를 가능한 한 크게 그릴 겁니다 이것이 y축이고 이것이 x축입니다 임의의 함수를 그려보도록 하죠 그 임의의 함수는 이렇게 생겼습니다 y=f(x)인 함수이죠 이제 경계를 설정하도록 합시다 여기를 x=a인 곳으로 합니다 x=a 그리고 여기를 x=b인 곳으로 하고요 여기가 b인 거죠 이제 n개의 직사각형을 그릴 겁니다 그리고 각 사각형의 왼쪽 변의 길이를 높이로 설정하여 계산할 겁니다 예를 들어 여기 첫 번째 직사각형이 있습니다 이 값은 f(a)이죠 이 값은 f(a)이죠 함숫값이 f(a)란 겁니다 이제 이 값을 첫 번째 직사각형의 높이로 할 것입니다 이렇게요 첫 번째 직사각형은 이렇습니다 그리고 이렇게 번호 매겨봅시다 1번 직사각형은 이렇습니다 그리고 각 왼쪽 경계인 x값에 이름을 붙여줄 겁니다 우선 a=x0라고 합시다 a는 x0와 같죠 이제 여기 이 값을 x0라고 부를 수 있습니다 이제 다음 직사각형으로 가봅시다 그리고 다음 직사각형의 x값을 x₁이라 합시다 이것은 이 정사각형의 왼쪽 경계이죠 바로 여기서 x₁의 함숫값을 구할 수 있습니다 이때 높이는 x1의 함숫값과 같습니다 폭은 이전 직사각형과 같게 하고요 다음으로 직사각형의 폭을 구해 보도록 하겠습니다 여기 두 번째 직사각형이 있습니다 곡선 아래의 영역을 대략적으로 계산하기 위해 사용할 것입니다 이 직사각형은 2번이라고 하고요 3번 직사각형에 대해서도 해봅시다 3번 직사각형의 왼쪽 경계를 x₂라고 하면 그 높이는 x₂의 함숫값입니다 x₂의 함숫값 그리고 그 폭은 이전 것들과 동일합니다 여기 이것 이것은 3번 직사각형입니다 이것은 3번 직사각형입니다 이 과정을 n번째 직사각형이 나올 때까지 계속 반복합니다 여기 n번째 직사각형이 있네요 바로 여기요 그럼 제가 여기를 뭐라고 할까요? 대충 경향성이 보이죠? 1번 직사각형의 왼쪽 경계는 x0입니다 2번 직사각형의 왼쪽 경계는 x₁이고요 3번 직사각형의 왼쪽 경계는 x₂네요 그럼 n번 직사각형의 왼쪽 경계는 x(n-1)이 되겠습니다 어떤 직사각형이든지 왼쪽 경계의 x값은 직사각형 번호에서 1을 뺀 값입니다 앞서 약속한 규칙에 따르면 말이죠 자, 이 부분을 계산하기 위해 폭이 얼마인지 생각해 보아야 합니다 폭이 얼마인지 생각해 보아야 합니다 이 예제에서는 이런 사각형의 폭을 가진다고 할 겁니다 실제로는 직사각형이 여러 길이의 폭을 가질 수 있지만 여기서는 그 폭을 일정하다고 가정하겠습니다 폭을 여러 가지 길이로 하면 복잡하기 때문이죠 그러니 여기서는 일정한 폭을 사용할 겁니다 Δx를 일정한 폭으로 두는 거죠 그다음으로 생각해 보아야 할 것은 전체 폭의 길이가 얼마이냐는 것입니다 전체 폭의 길이가 얼마이냐는 것입니다 여기에서 전체 길이는 b-a겠고 이 값을 우리가 원하는 영역의 개수인 직사각형의 개수로 나누어 보겠습니다. n으로 나누자는 것이죠 이 경우에 x0는 a와 같고 x₁은 x0+Δx x₂는 x₁+Δx xn은 x(n-1)+Δx와 같습니다 여기 그려진 그래프에서 보이는 것처럼요 b는 xn과 같겠죠 여기가 xn입니다 동시에 x(n-1)+Δx와도 같습니다 이 모든 약속과 표기들은 이 영역을 근사적으로 계산하기 위해 설정한 것입니다 그럼 구하고자 하는 면적의 근삿값은 어떻게 될까요? 그것을 첫 번째 직사각형의 넓이에다가 적어둡시다 첫 번째 직사각형의 면적과 두 번째 직사각형의 면적을 더하고 또 세 번째 직사각형을 더합니다 이렇게 n번째 직사각형까지 계속해서 더해갑니다 그러면 이 합이 어떻게 될까요? 첫 번째 직사각형이 높이는 a 또는 x0의 함숫값입니다 f(a) 또는 f(x0)란 거죠 a와 x0는 같으니 어떤 것이든 상관없습니다 이제 직사각형의 높이에 폭을 곱합니다 즉 f(a)와 Δx를 곱하는 것이죠 그러니 Δx를 곱합니다 a대신 x0로 바꿔 씁시다 두 번째 직사각형의 높이는 무엇인가요? 높이는 f(x₁)이고 여기에 Δx를 곱합시다 높이는 f(x₁)이고 여기에 Δx를 곱합시다 세 번째 직사각형의 면적은 얼마일까요? f(x2) 곱하기 Δx겠군요 이렇게 모든 직사각형 면적을 동일하게 구합니다 그리고 이들의 합을 생각해봅시다. n번째 직사각형도 동일하게 구합니다 면적이 얼마일까요? x(n-1)의 함숫값이 높이죠 이런, 주황색 분필 색이 조금 다르군요 같은 색을 사용하겠습니다 f(x(n-1))에 Δx를 곱합니다 이제 다 끝났습니다 굉장히 일반적인 방법으로 접근해보았습니다 다양한 형태의 표기를 좀 더 간단하게 하기 위해서 이러한 근사를 표현할 때에 자주 사용되는 시그마 표기법으로 식을 정리해보도록 하겠습니다 이 방법은 합산을 할 수 있도록 하는 것으로 우리가 앞서 이야기한 몇 가지 약속에 기반한 것입니다 i를 1부터 n까지 세게 하여 직사각형 개수를 셀 것입니다 그리고 각 직사각형을 살펴봅시다 먼저 첫 번째 직사각형이죠 만약 i번째 직사각형이라면 왼쪽 경계인 (xi-1)*(Δx)가 될 것입니다 이렇게 일반적으로 사각형을 사용하여 곡선 아래의 영역을 근사할 수 있습니다 이때 직사각형의 높이는 왼쪽 경계죠 이 부분이 왼쪽 경계임을 알려줍니다 여기 i번째 사각형이 있습니다 여기 이 부분은 xi-1이고, 여기 이 높이는 xi-1 입니다 전체 넓이는 지금까지 한 것 곱하기 Δx 입니다 그리고 이것들을 첫 번째 사각형부터 끝까지 더합니다 이렇게 하면 이 표기법에 조금 더 익숙해질 수 있을 것입니다 오늘 배운 것은 지난번 동영상에서 배운 것과 크게 다르지 않습니다 여러분이 집중해서 들었다면 간단한 내용입니다 조금 더 수학적인 표기법을 사용하여 일반화했을 뿐이죠 커넥트 번역 봉사단 | 이혜원