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적분하기 전에 다시 써보기

동영상 대본

x² (3x - 1) dx의 부정적분을 구한다고 해 봅시다 x² (3x - 1) dx의 부정적분을 구한다고 해 봅시다 x² (3x - 1) dx의 부정적분을 구한다고 해 봅시다 동영상을 멈추고 계산해 보세요 어떤 화려한 기술로 문제를 풀지 생각할 수 있을텐데 어떤 화려한 기술로 문제를 풀지 생각할 수 있을텐데 가끔 가장 화려한 기술은 아니면 가장 화려하지 않지만 가장 좋은 방법은 대수학적으로 식을 간단히 하는 것입니다 이 경우에 x²을 분배하면 어떻게 될까요? 이 경우에 x²을 분배하면 어떻게 될까요? 그러면 적분기호 안에 다항식이 생깁니다 그러면 적분기호 안에 다항식이 생깁니다 이는 무엇과 같냐면 x²에 3x를 곱하면 3x³입니다 -1에 x²을 곱하면 -x²입니다 그리고 dx를 곱해 줍니다 이제 계산하기 간단해 졌습니다 이는 무엇과 같냐면 x³의 부정적분은 x⁴/4입니다 따라서 이건 3/4 · x⁴입니다 이렇게 쓸 수도 있는데 이렇게 쓰겠습니다 x²의 부정적분은 x³/3이므로 x³/3을 뺍니다 그리고 이건 부정적분이므로 상수가 있을 수도 있습니다 이것만 써주면 끝납니다 여기서 중요한 점은 분배를 해서 부정적분을 계산하기 쉬운 형태로 만들어야 한다는 것입니다 다른 예제를 봅시다 이 복잡한 식의 부정적분을 구한다고 합시다 이 복잡한 식의 부정적분을 구한다고 합시다 이 복잡한 식의 부정적분을 구한다고 합시다 x³ + 3x² -5/x² · dx입니다 x³ + 3x² -5/x² · dx입니다 이건 무엇일까요? 다시 동영상을 멈추고 스스로 문제를 풀어보세요 여기서도 머리속에선 화려한 기술을 사용할까라는 생각도 들지만 여기서 알아차려야 할 것은 이걸 대수학적으로 간단히 할 수 있다는 것입니다 이 각각의 항을 x²으로 나누면 어떨까요? 이 각각의 항을 x²으로 나누면 어떨까요? 그러면 얼마와 같냐면 괄호를 적어주고 x³/x²은 x입니다 3x²/x²은 3입니다 3x²/x²은 3입니다 그리고 -5/x²은 -5x^-2으로 쓸 수 있습니다 -5x^-2으로 쓸 수 있습니다 여기서도 역으로 멱의 법칙을 사용해 부정적분을 구할 수 있습니다 이건 x의 부정적분은 x²/2입니다 3의 부정적분인 3x를 더해 줍니다 3의 부정적분인 3x를 더해 줍니다 -5x^-2의 부정적분은 -5x^-2의 부정적분은 지수에 1을 더하고 그 값으로 나누면 됩니다 -5x^-1이 됩니다 1을 더하니 -1이죠 이걸 -1로 나누어 줍니다 그러면 이렇게 쓸 수 있습니다 그러면 이렇게 쓸 수 있습니다 이 둘은 음수 부호와 -1로 나누는 것이니 이건 + 5x^-1로 쓸 수 있습니다 이건 + 5x^-1로 쓸 수 있습니다 이것의 도함수를 구해 확인하면 이것이 나옵니다 그리고 C를 더하는 것도 잊으면 안됩니다 절대 잊지 마세요 부정적분을 구한다면요 하나를 더 풀어 확실히 해 보죠 ∛(x⁵) dx의 부정적분을 구한다고 해 봅시다 ∛(x⁵) dx의 부정적분을 구한다고 해 봅시다 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 조금 더 깔끔하게 써 놓겠습니다 조금 더 깔끔하게 써 놓겠습니다 동영상을 멈추고 스스로 풀어보세요 여기서 깨달아야 할 것은 이것을 하나의 지수로 다시 쓰면 이건 무엇과 같냐면 (x⁵)^1/3과 같습니다 세제곱근을 1/3제곱으로 다시 썼습니다 세제곱근을 1/3제곱으로 다시 썼습니다 이것은 무엇과 같냐면 x의 거듭제곱으로 어떤 것을 거듭제곱 하고 다시 거듭제곱 하면 두 지수를 곱할 수 있습니다 지수의 성질이 이렇습니다 x^5/3 dx와 같습니다 많은 사람들은 바로 이 단계로 넘어가곤 합니다 많은 사람들은 바로 이 단계로 넘어가곤 합니다 그러면 다시 역으로 멱의 법칙을 사용하기만 하면 됩니다 이것은 얼마냐면 5/3에 1을 더하면 혹은 3/3을 더하면 8/3입니다 그리고 8/3으로 나누거나 그 역수로 곱하면 3/8 · x^8/3입니다 3/8 · x^8/3입니다 당연히 C도 더해 주어야 하죠 멱의 법칙을 사용하면 8/3에 3/8을 곱하면 계수는 1이 되고 이걸 3/3, 곧 1만큼 줄이면 5/3이 됩니다 처음에 있던 것이죠 이 동영상에서 배워야 할 점은 많은 경우 가장 강력한 적분 기술은 단순히 대수학적으로 식을 간단히 하는 것입니다