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부정적분: 합과 곱

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여기 부정적분에서 중요한 두 가지 성질이 있습니다 나중에 보겠지만 이들은 아주, 아주 강력합니다 이것은 다른 두 함수의 합의 부정적분은 이것은 다른 두 함수의 합의 부정적분은 각 함수들의 부정적분의 합과 같다는 것입니다 각 함수들의 부정적분의 합과 같다는 것입니다 이것은 x에 대한 함수가 아닌 상수와 이것은 x에 대한 함수가 아닌 상수와 f(x)의 곱의 부정적분은 상수와 f(x)의 부정적분의 곱과 같다는 것입니다 이렇게 생각해볼 수 있습니다 적분에서 상수를 꺼내어 나중에 배우겠지만 이 둘은 아주 유용한 방법입니다 적혀 있는 대로 이들을 만족한다면 다음으로 넘어가도 됩니다 살짝 증명을 해보자면 이것이 참인지에 대한 이야기를 하기 위하여 여기서 할 것은 도함수 성질을 이용하는 것입니다 이 방정식의 양변을 미분하고 그 등식이 성립하는지 확인합니다 적분을 제거하면 말이죠 그럼 해봅시다 이 식의 양변을 x에 대하여 미분합니다 x에 대하여 미분합니다 좌변은 정적분 안에 있는 식이 무엇이든 그 자체가 됩니다 f(x) + g(x) f(x) + g(x) f(x) + g(x) 우변은 어떻게 될까요? 도함수 성질을 확인합니다 두 식의 합의 도함수는 그 도함수들의 합과 같습니다 식이 좀 길겠네요 첫 번째 부분의 x에 대한 도함수와 두 번째 부분의 x에 대한 도함수의 합 따라서 첫 번째 부분은 f(x)의 적분이고 여기에 g(x)의 적분을 더합니다 적어볼게요 이것은 f(x)이고 이것은 g(x) 입니다 이들을 무엇이 될까요? 등호를 적겠습니다 이들은 다음과 같습니다 이 식의 x에 대한 도함수는 f(x)입니다 그리고 이 식의 x에 대한 도함수는 g(x) 입니다 이는 명백히 참입니다 이제 이 식을 봅시다 똑같이 하면 됩니다 양변을 미분해 봅시다 양변을 미분해 봅시다 이 식을 x에 대하여 미분하고 이 식을 x에 대하여 미분합니다 이 식을 x에 대하여 미분합니다 따라서 좌변은 명백히 c·f(x)가 됩니다 따라서 좌변은 명백히 c·f(x)가 됩니다 따라서 좌변은 명백히 c·f(x)가 됩니다 우변은 다음과 같습니다 도함수 성질에 따르면 상수와 어떤 식의 곱의 도함수는 상수와 어떤 식의 도함수의 곱과 같습니다 여기 f(x)의 부정적분이 있습니다 이 식은 그대로 f(x)가 됩니다 따라서 이 식은 c·f(x)가 됩니다 이번에도 등식이 성립하는 것을 볼 수 있습니다 이 성질들이 참이라는 것으로 기분이 좋아지길 바랍니다 하지만 더 중요한 것은 언제 이것을 사용해야 하는지 안 것입니다 예를 들어 x² + cosx를 적분한다면 이는 나중에 아주 유용해질 것입니다 이것은 다음과 동일합니다 x²의 적분식과 cosx의 적분식의 합 따라서 이 식은 이 식과 이 식의 합과 같습니다 각각을 계산합니다 이 식이 유용한 이유는 다음 식을 적분하면서 설명드리죠 πsinx의 적분식이 있습니다 이 상수를 밖으로 빼냅니다 π는 x로부터 독립적이므로 π 그대로 나올 것입니다 따라서 π를 꺼내고 이는 다음과 같습니다 π와 sinx의 적분식의 곱 아주 유용한 두 성질이죠 두 식 모두에 대하여 느낀 것이 많기를 바랍니다