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부분 분수로 적분하기

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주어진 부정적분을 구합니다 주어진 부정적분을 구합니다 이렇게 이야기하는 분도 있겠죠 식의 분자는 분모의 도함수 혹은 도함수의 상수배인가요? 그런 경우라면 u를 이용한 치환이 가능합니다 하지만 아닙니다 어떻게 해야 할까요? 힌트를 드리자면 부분분수입니다 미적분학 입문 혹은 대수학 2 시간에 배운 기억이 날 것입니다 이 방법은 유리식을 쪼개서 두 유리식의 합으로 나타내는 것입니다 좋은 힌트가 있네요 분모가 두 식으로 인수분해됩니다 분모가 두 식으로 인수분해됩니다 따라서 부분분수를 이용하여 해야하는 것은 따라서 부분분수를 이용하여 해야하는 것은 x-5 / (2x-3)(x-1) 를 두 유리식의 합으로 즉, 첫 번째 유리식의 분모가 2x-3 이고 즉, 첫 번째 유리식의 분모가 2x-3 이고 두 번째 유리식의 분모가 x-1인 두 유리식의 합으로 나타내는 것입니다 분자는 모릅니다 이전에 배웠다면 스스로 풀어보고 부분분수가 처음이라면 칸아카데미에 들어가서 관련 강의를 찾아보세요 다만 여기서 원칙은 분자가 분모보다 한 차수 낮다는 것입니다 따라서 분모가 1차이므로 분자는 0차 혹은 상수가 됩니다 임의의 상수인 A라고 합시다 여기는 B라고 합시다 목표는 A와 B 입니다 지금까지는 복습이었습니다 이는 사실 미적분은 아니고 미적분학 입문 혹은 대수학에 가깝죠 A와 B를 어떻게 구할까요? 분모가 다른 두 분수를 더하는 것처럼 분모가 다른 두 분수를 더하는 것처럼 둘을 더해봅시다 공통분모가 필요합니다 먼저 해야 하는 것은 첫 번째 유리식의 분모와 분자에 x-1을 곱하는 것입니다 따라서 A(x-1) / (2x-3)(x-1) 입니다 따라서 A(x-1) / (2x-3)(x-1) 입니다 그 다음 두 번째 유리식의 분자와 분모에 2x-3 을 곱합니다 따라서 (2x-3)B / (2x-3)(x-1) 입니다 따라서 (2x-3)B / (2x-3)(x-1) 입니다 이제 분모가 같으므로 더할 수 있습니다 목표는 이렇게 더할 때 분자에 대하여 A와 B가 어떤 값이어야 x-5가 나오냐는 것입니다 분모는 동일합니다 (2x-3)(x-1) 이 식은 분자는 이 식은 분자는 Ax-A 입니다 A를 분배한 것이죠 여기서 B를 분배하면 2Bx-3B 입니다 분자에서 x항끼리 더하면 Ax+2Bx = (A+2B)x 입니다 상수항끼리 더하면 -A-3B 입니다 기존 식에 마이너스가 있으므로 패턴을 일치시킵니다 따라서 -(A+3B) 입니다 따라서 -(A+3B) 입니다 마이너스를 분배하면 -A-3B 입니다 이 둘은 동일하죠 패턴이 보입니다 분모는 동일하므로 분자 또한 x-5와 같아야 합니다 분자 또한 x-5와 같아야 합니다 x의 계수는 1입니다 x의 계수는 1입니다 상수항은 5입니다 상수항은 5입니다 A와 B를 구하기 위한 두 방정식과 두 미지수로 된 연립방정식을 세울 것입니다 따라서 A+2B = 1 이고 따라서 A+2B = 1 이고 A+3B = 5 입니다 A+3B = 5 입니다 A와 B를 구하기 위해서 소거법을 이용합니다 위 방정식에 -1을 곱하면 -A-2B = -1 이 되고 둘을 더합니다 A를 제거하는 것이 핵심이므로 -2B+3B = B = 4 입니다 -2B+3B = B = 4 입니다 이 값을 식에 대입하여 A를 구합니다 A + 3·4 = 5 A + 3·4 = 5 여기서 3·4 = 12 이므로 이 방정식에 따르면 A + 12 = 5 입니다 양변에서 12를 빼면 A = -7 입니다 이 전체 적분식을 다시 나타낼 수 있습니다 이 전체 적분식을 다시 나타낼 수 있습니다 괄호를 열고 A / 2x-3 A는 -7 이므로 -7 / 2x-3 입니다 B=4 이므로 4 / x-1 입니다 4 / x-1 입니다 느낌이 왔다면 강의를 멈추고 스스로 풀어보세요 이전에 이런 적분을 푸는 방법을 배운 적이 있죠 하지만 차근차근 풀어보겠습니다 이 식은 다음과 같습니다 이 식은 다음과 같습니다 이 식은 다음과 같습니다 -7 / 2x-3 이지만 -7 / 2x-3 이지만 -7을 적분 밖으로 빼내겠습니다 여기에 -7을 두고 분자는 1이 되지만 계산하기 쉽게 하려면 2가 오는게 더 좋습니다 왜 그렇죠? 2는 2x-3의 도함수이고 그러면 u를 이용하여 치환할 수 있기 때문입니다 암산 가능하죠 암산 가능하죠 분자가 2가 되려면 단순히 2만 곱하면 안되고 2를 나누기도 해야합니다 상수니까 적분 밖에서 나누겠습니다 x-1의 도함수는 1이므로 분자가 1이면 되겠네요 적분 밖에 4를 두면 ∫ 1 / x-1 dx 입니다 따라서 정리하면 -7/2 분모의 도함수가 분자이므로 분모식에 대하여 적분한다고 생각해보면 u를 이용한 치환으로 볼 수 있습니다 연쇄 법칙의 역과 같은 것을 하지 않을 것입니다 연쇄 법칙의 역과 같은 것을 하지 않을 것입니다 1/x 의 부정적분은 ln|x| 이지만 여기서 부정적분은 ln|2x-3| 입니다 ln|2x-3| 입니다 여기는 이 식의 부정적분은 ln|x-1| 입니다 x-1의 도함수가 1이기 때문에 가능합니다 x-1의 도함수가 1이기 때문에 가능합니다 부정적분을 하고 있으므로 C를 더하는 것을 잊으면 안됩니다 다 끝났습니다