완전제곱과 arctan(x)의 도함수를 사용한 적분

좋습니다 ∫1/(5x² - 30x + 65) dx 를 구해봅시다 ∫1/(5x² - 30x + 65) dx 를 구해봅시다 강의를 멈추고 한번 풀어보세요 좋습니다 이것은 흥미로운 문제입니다 그리고 살짝 복잡합니다 하지만 같이 풀어볼 것입니다 여러분은 즉각적으로 여러 가지 적분 기술을 시도했겠지만 장벽을 느꼈을 것입니다 여기서 할 것은 분모에 있는 이차식을 완전제곱꼴로 만드는 것입니다 완전제곱꼴로 만들면 arctan의 도함수처럼 형태가 만들어집니다 큰 힌트를 드렸으니 다시 강의를 멈추고 풀어보세요 좋습니다 같이 풀어볼게요 분모를 간단히 만들고 싶습니다 x²의 계수가 1이 되도록 말이죠 분모에서 5를 빼내겠습니다 다음과 같이 되겠죠 1/5 · ∫ 1/ 분모에서 5를 빼냈으므로 1/5 · ∫ 1/(x² - 6x + 13) dx 가 됩니다 언급했다시피 이 이차식을 완전제곱꼴로 만들겠습니다 다시 나타내보면 1/5 · ∫ 1/(x² - 6x 1/5 · ∫ 1/(x² - 6x 기존 식은 완전제곱꼴이 아닙니다 좀 떨어져서 13을 적을게요 분모의 값이 바뀌지 않으면서 어떤 값을 더하고 어떤 값을 빼야 할까요? 이 부분이 완전제곱꼴이 되어야 합니다 이 부분이 완전제곱꼴이 되어야 합니다 이전에 했다시피 이 계수의 절반을 계산합니다 -3이 되겠죠 이것을 제곱합니다 따라서 9를 더합니다 9를 더했으니 9를 뺍니다 따라서 이 부분은 (x - 3)²이고 이 부분은 4입니다 dx를 잊지 마세요 이렇게 나타냈습니다 정리하면 1/5 · ∫ 1/ dx 1/5 · ∫ 1/ dx 1/5 · ∫ 1/ dx 1/5 · ∫ 1/ dx 여러분은 이렇게 얘기하겠죠 arctan와 상당히 비슷합니다 하지만 arctan가 포함되도록 더 간단히 만들어볼 것입니다 더 간단히 만들어볼 것입니다 u를 이용한 치환으로 해보겠습니다 u를 이용한 치환으로 해보겠습니다 먼저 할 것은 분모에서 4를 빼내는 것입니다 그렇다면 1/5 × 1/4 = 1/20이므로 1/20 · ∫ 1/ dx 1/20 · ∫ 1/ dx 1/20 · ∫ 1/ dx 1/20 · ∫ 1/ dx 1/20 · ∫ 1/ dx 이 부분을 이렇게 나타냅니다 모든 단계를 빠짐없이 하겠습니다 대부분 과정은 암산이 가능할 것입니다 1/20 · ∫ 1/[² + 1] dx 1/20 · ∫ 1/[² + 1] dx 1/20 · ∫ 1/[² + 1] dx 이제 u를 이용한 치환을 할 수 있겠죠? u = x - 3 / 2 로 치환합니다 u = x - 3 / 2 로 치환합니다 혹은 u = x/2 - 3/2 로 치환합니다 혹은 u = x/2 - 3/2 로 치환합니다 이는 x - 3 / 2 과 같습니다 du = dx/2 입니다 여기서 할 수 있는 것은 살짝 식을 조작하여 1/2이 되도록 만들어봅시다 1을 1/2로 만들면 바깥에 2를 곱해주어야 합니다 2를 나누고 2를 곱합니다 이런 방법이 있습니다 이는 1/10이 되고 u를 이용해 치환하면 1/10 · ∫ dx/2가 있습니다 이는 du와 같습니다 du를 분자에 혹은 떨어져서 적겠습니다 1 / (u² + 1) 입니다 1 / (u² + 1) 입니다 바로 깨달았을 것입니다 arctan(u)의 도함수는 무엇일까요? 1 / (u² + 1) 입니다 1/10 arctan(u) + C 입니다 1/10 arctan(u) + C 입니다 C를 빠뜨리면 안됩니다 부정적분을 하고 있기 때문이죠 역치환을 해보죠 u는 이 식과 같으므로 대망의 정답입니다 1/10 arctan(u) 1/10 arctan(u) u = x/2 - 3/2 이므로 u = x/2 - 3/2 이므로 1/10 arctan(x - 2 / 3) + C 입니다 다 끝났습니다