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여러분이 이 적분을 계산할 수 있는지 봅시다 계산하는 것이 목표라고 가정하고 같이 계산해봅시다 아마 u 치환과 같은 우리가 이미 아는 기술을 직접적으로 적용할 수 없다는 것을 깨달았을 것입니다 알아두어야 할 점은 이것이 분자의 차수가 분모보다 높거나 같은 유리식이라는 점입니다 여기에서는 분자와 분모의 차수가 같습니다 이럴 때에는 분자를 분모로 나누는 것이 현명합니다 이 유리식은 x-5가 -2x+2로 나누어졌다고 표현할 수 있습니다 적분을 계산할 수 있도록 다시 쓰기 위해 -2x+2를 x-5로 나눠봅시다 다항식의 나눗셈을 통해 나눠봅시다 한번 해봅시다 우선 x-5를 -2x+2로 나눕니다 -2x+2로 나눕니다 차수가 가장 높은 항을 봅시다 x는 -2x로 몇 번 나누어질까요? -1/2입니다 -1/2 × 2 = -1입니다 -1/2 × (-2x) = x가 될 것입니다 될 것입니다 이제 이 노란색 식에서 파란색 식을 빼야합니다 여기에 마이너스를 붙이고 더하도록 하겠습니다 -5+1=4만 남았습니다 (-2x+2) × (-1/2) -4 = x-5라고 할 수 있습니다 원래의 적분을 {(-1/2) -4 / (-2x+2)} dx라고 다시 쓸 수 있습니다 이제 이 식을 조금 더 간단히 할 수 있을 것 같습니다 분모와 분자 모두 2로 나눠집니다 모든 항들은 2로 나눠집니다 사실 언제나 불필요하게 복잡한 마이너스가 있기 때문에 분자와 분모를 -2로 나눕시다 그러면 어떻게 되나요? 분자를 -2로 나눕니다 -4는 2가 됩니다 -2x를 -2로 나누면 x가 됩니다 2/ (-2) = -1이 됩니다 따라서 원래의 적분은 이 모든 것은 대수였습니다 여태 해 온 것은 모두 대수였습니다 약간의 다항식의 나눗셈을 통해 식을 다시 썼습니다 원래의 적분이 -1/2로 간단해졌습니다 몇몇 사람들은 간단해지지 않았다고 할 겁니다 하지만 이것이 적분을 구하는 데에 훨씬 더 유용합니다 {(-1/2) + 2 / (x-1)}dx 이제 어떻게 계산할까요? -1/2의 역도함수는 매우 간단합니다 그냥 -1/2x가 되고 2/(x-1)의 도함수를 더하면 됩니다 여기서 더 간단히 만들 수 있습니다 x-1의 도함수는 그냥 1이기 때문에 여기에 도함수가 있다고 말할 수 있습니다 그리고 치환법을 생각해낸 후 전체의 도함수를 취합니다 x-1의 도함수는 ln|x-1|가 됩니다 모든 것이 다 혼란스럽다면 이번에는 u 치환을 이용해보도록 하겠습니다 제가 단지 ∫ {2/(x-1)}d x를 계산하려고 했다면 x-1의 도함수는 그냥 1이기 때문에 u=x-1이라면 d u = d x가 됩니다 이제 u에 관한 식으로 다시 쓸 수 있습니다 상수 2를 빼내면 2 ∫ (1/u) du가 되고 이는 2ln|u| + C입니다 u는 x-1이기 때문에 2ln|x-1| + C와 같습니다 2ln|x-1| + C와 같습니다 그러므로 여기에 있는 것은 2ln|x-1|+C가 됩니다 2ln|x-1|+C가 됩니다 C는 여기서 나온 것이 아니라 전체 적분에서 나온 것입니다 반대로 도함수를 취하면 상수는 없어지므로 어떤 상수라고 하는 것입니다 간단히 +C를 쓰기만 하면 끝났습니다