cos^3(x)의 적분

한 번 cos³ x의 부정적분이 무엇인지 알아봅시다 잠시 영상을 멈추고 혼자 풀어보세요 한 번 풀어 보았나요? 여러분 중 몇몇은 이것을 완전히 풀어낼 수 있을지 몰라도 몇몇은 막혔겠죠 여러분은 아마도 cos의 세제곱이 주어졌지만 만일 여기에 오직 cos의 도함수가 주어졌더라면 즉 -sin x나 sin x가 있었더라면 아마 이를 u로 치환할 수 있었을 것이라고 생각했겠죠 도대체 어떻게 cos³ x의 역도함수를 구하냐는 의문 역시 가졌을 겁니다 이 풀이의 핵심은 삼각함수의 기본 공식 몇 개를 이용하는 것입니다 무엇을 의미하는 걸까요? sin² x과 cos² x의 합이 1이라는 것을 알고 있으므로 양변에서 sin² x을 빼주면 cos² x=1-sin² x 라는 결론에 도달하게 됩니다 cos³ x이 cos x와 cos² x의 곱으로 나타내어진다는 사실을 적용합니다 만일 이 cos의 제곱을 변환한다면 어떻게 될까요? 다시 써 보죠 이것은 ∫(cos x)×(cos² x)dx와 같다고 할 수 있습니다 바로 여기 있는 이것을 자홍색으로 써봅시다 바로 여기 있는 cos² x를 취해 이것으로 대체시킨다면 어떨까요 전 당신이 무엇을 생각하는지 압니다 마치 제가 기존의 적분식을 훨씬 더 난해한 형태로 만드는 것처럼 느끼시겠죠 그렇다면 저는 이 행위가 식을 더 복잡하게 만드는 것처럼 보이지만 조금 하다 보면 사실은 이것이 적분식을 푸는 데에 더 도움이 될 것이라는 걸 알게 될 것이라고 말할 것입니다 더 도움이 될 것이라는 걸 알게 될 것이라고 말할 것입니다 이렇게 하면, 이 식은 ∫(cos x)(1-sin² x)dx라는 사실을 유도해낼 수 있습니다 식이 또 어떻게 바뀔까요? 이 식을 다시 써봅시다 초록색으로 합시다 이 식에서 cos x를 분배하여 적분식을 전개하면 cos x - cos x sin² x, 그런 뒤 cos x - cos x sin² x, 그런 뒤 괄호를 닫고 dx 이걸 적분한 값과 같겠군요 물론 이것은 ∫cos x dx에서 물론 이것은 ∫cos x dx에서 나머지 적분을 뺀 값과 같을 것입니다 슬슬 색을 바꾸죠, (cos x sin² x)dx 여기가 흥미로워지는 부분입니다 여기 있는 건 꽤 직관적입니다 cos x의 역도함수는 sin x이므로 이건 sin x가 될 겁니다 상수를 더해야 하긴 하지만 어차피 둘 다 상수를 더해주어야 하므로 나중에 뒤쪽에 큰 +C를 한 번에 처리하도록 합시다 저건 sin x인데, 이쪽에서는 무슨 일이 일어날까요? 알아차리셨을지도 모르겠지만 sin x에 관한 함수가 있습니다 정확히는 sin x의 제곱에 관한 함수가 있네요 그리고 sin x를 미분한 게 여기 있군요 이것은 어떤 함수의 미분이 주어져 있고 또 다른 함수가 있고 거기에 처음 함수의 함숫값을 대입한 g(f(x)) 꼴입니다 아마도 u 치환이 적절할 것이라는 느낌이 드네요 아니면 이 식이 여러 번 곱해진 꼴이라는 점에서 착안하여 두 함수의 합성 형태와 안쪽 함수의 도함수가 주어지면 필연적으로 이 함수에 대한 역도함수를 취할 수 있게 된다고 달리 말할 수도 있습니다 대문자 G를 함수 소문자 g의 역도함수라고 하면 G(f(x))+C 꼴이 되죠 만약 제가 말한 게 이해되지 않는다면 u 치환으로 가서 차근차근 조금 더 해보아야 할 겁니다 한 번 해봅시다 이해하는 것이 목표잖아요 그게 이 동영상들이 만들어진 목적이니까요 u=sin x라고 둔다면 du=cos x dx가 될 겁니다 이 부분과 저 부분은 du가 될 것이고 이 부분은 u²이 되겠죠 따라서 이 항은 -∫u²du로 바뀝니다 이것은 다시 -u³/3으로 변환됩니다 우린 u의 정체를 알죠 u=sin x입니다 이를 대입합시다 첫 적분식은 최종적으로 sin x가 되어있겠죠 sin x 뒤에는 이것이 빼질 겁니다 이렇게 씁시다 -1/3 u의 세제곱 대신 u=sin x임을 알고 있으므로 sin³ x로 씁시다 그런 뒤에 여기에 +C를 적어줍시다 끝났군요 방금 막 부정적분을 구했습니다 풀이의 열쇠는 삼각함수의 기본 공식들을 통해 식을 변환시켜나가 연쇄 법칙의 역 또는 u 치환법을 사용할 수 있도록 유도해내는 것이죠 사실상 연쇄 법칙의 역을 적용하는 또 다른 방법입니다