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주요 내용

sin^4(x)의 적분

sin^4(x)의 적분을 구하는 방법은 u로 치환하는 것입니다.

동영상 대본

우리가 이제 해 볼 것은 sin⁴x의 부정적분입니다 이전처럼 동영상을 멈추시고 스스로 해결해 보시기 바랍니다 만약 차수가 홀수라면 sin 이든, cos 이든 쓴 방법이 있었습니다 예를 들어 sin³x의 경우 sinx 하나를 밖으로 분리하고 sin²x 곱하기 sinx라고 써줍니다 그리고 나서 sin²x를 피타고라스 정리를 이용해 바꿉니다 그리고 sinx를 분배해주면 u-치환법을 쓸 수 있었습니다 우리는 이 방법을 이전 동영상들에서 다뤘습니다 우리가 계산할 수 있는 것은 cos³x이나 5제곱도 있으며 혹은 7제곱 즉 차수가 홀수인 경우입니다 하지만 이젠 짝수 차수입니다 그럼 어떻게 해야할까요? 우리가 쓸 방법은 일종의 트릭처럼 느껴질 수도 있는데요 이 방법 혹은 트릭을 사용하면 다시 한 번 대수적인 조작을 거쳐 우리가 이미 잘 알고 있는 적분법을 사용할 수 있게 됩니다 이 경우엔 우리가 쓸 것은 2배각 공식입니다 2배각 공식에 따르면 sin²x는 (1-cos2x)/2와 같습니다. 그럼 어떻게 적용할 수 있을까요? 원래 하고자 했던 적분은 다르게 표현하면 (sin²x)²과 같아집니다 이제 치환을 할 수 있습니다 적분 안의 sin²x는 오른쪽과 동일하며 이는 (1-cos2x)/2와 2배각 공식에 의해 같습니다 따라서 적분 안의 식을 1/2 곱하기 1-cos2x 의 전체 제곱과 같습니다 그럼 이 식이 무엇과 같을까요? 이 식을 살펴보면 1/2의 제곱은 1/4이며 적분식 밖으로 꺼낼 수 있습니다 따라서 1/4 곱하기 인테그랄 위의 식을 제곱할 겁니다 제곱하면 1-2cos2x 더하기 cos²2x dx가 됩니다 앞의 두 항은 그대로 부정적분을 하거나 역도함수를 구해주면 됩니다 그러나 이 부분은 어떻게 해야할까요? 다시 한번 짝수 차수가 되었습니다 다시 코사인의 2배각공식을 씁시다 cos²2x는 1/2 곱하기 1 더하기 이 각을 두배해 주어 cos4x가 됩니다 다시 한 번 치환해줍시다 따라서 이 식은 아 여기가 아니지 1/4 그리고 색을... 그냥 그대로 가겠습니다 1/4 곱하기 1-2cos2x 더하기 1/2 1/2는 그냥 분배하겠습니다 더하기 1/2 더하기 1/2 cos 4x dx가 됩니다 봅시다 1/2와 1을 더해서 3/2가 될 것이며 두 값을 더해 3/2가 됩니다 그럼 다시 써서 이제 정말 다 끝났습니다 이 식은 1/4 곱하기 인테그랄 3/2 빼기 2cos2x 4x를 미분하면 4이기 때문에 의미 상 앞에 4가 있으면 좋습니다 그래서 1/2를 4/8로 쓰겠습니다 단지 4를 곱하고 나눈 것입니다 이는 이를 생각하는 한 방법입니다 그럼 더하기 1/8 곱하기 4cos4x로 쓸 수 있습니다 이렇게 하면 u-치환법을 쓸텐데 u-치환법에 대한 많은 연습을 해왔기 때문에 함수가 있으면 그것의 미분이 있고 4x를 고려하여 적분할 수 있습니다 이를 연쇄법칙의 역과정이라고 볼 수 있고 이것이 u-치환이 의미하는 것입니다 이제 적분할 준비가 되었습니다 이 식은 충분히 박수 받을 만합니다 1/4 곱하기 3/2x 2x의 c-미분결과도 여기 있으므로 빼기 sin2x 이 값을 c-미분하여 확인할 수 있습니다 미분하면 2cos2x가 되고 위에 있는 값과 같습니다 더하기 1/8 곱하기 sin4x sin4x를 미분하면 4cos4x가 되고 위에 있는 값과 같습니다 이제 하나만 쓰면 끝납니다 더하기 C 즉 더하기 적분 상수 이 값이 부정적분한 결과입니다 끝이 났습니다 이는 쉬운 문제가 아니지만 나쁜 문제는 아닙니다 만족스럽게 풀었습니다