sin^2(x) cos^3(x)의 적분

우리가 부정적분 ∫ sin²(x)cos³(x)dx를 할 수 있는지 봅시다 늘 그렇듯 동영상을 일시중지하고 여러분이 스스로 할 수 있는지 확인하세요 좋습니다 이제 이것을 볼 때 여러분은 이렇게 반응하겠죠 만약 이것이 sin²(x)가 아니라 sin(x)였으면 좋았을 텐데 라고 말이죠 그러면 이것은 cos(x)의 도함수의 음의 값이 됩니다 아마 새로운 변수 u로 치환할 수 있었을 것입니다 비슷하게 만약 이것이 cos³(x)가 아니라 cos(x)라면 새로운 변수 u로 치환할 수 있었을 것입니다 u = sin(x)라고 말할 수 있었을 것입니다 하지만 여기서는 할 수 없습니다 여기서 일반적인 아이디어는 이들 중 하나가 홀수 지수를 가지면 이것이 홀수 지수를 가지고 있군요 cosine이 홀수 지수를 가집니다 여러분이 해야할 것은 식을 대수적으로 조작하기 위해 노력하는 것입니다 그래서 변수 u로 치환할 수 있어야 합니다 그렇게 하려면 이처럼 홀수 지수를 가지고 있을 때 cos(x) 하나를 cos³(x)로부터 분리하고 남은 cos²(x)에 대해 삼각함수 제곱 공식을 이용하는 것입니다 무슨 뜻인지 아시겠나요? 여기에 다시 써보면 이 식은 sin²(x) 곱하기 이 방법대로 써 보죠 cos²(x)cos(x) cos²(x)cos(x) 제가 한 것은 cos³(x)를 cos²(x) 곱하기 cos(x) cos²(x)cos(x)로 바꾸고 dx를 적은 것 밖에 없습니다 그리고 이것은 sin²(x)로 쓸 수 있습니다 이제 삼각함수 제곱 공식을 쓸 것입니다 cos²(x)를 1-sin²(x)로 바꿉니다 삼각함수 제곱 공식에 의해 1-sin²(x)와 같습니다 그리고 cos(x)가 있죠 곱하기 cos(x)dx 이제 sin²(x)(1-sin²(x))를 분배할 수 있습니다 그러면 남는 것이 색을 바꿀게요 부정적분 sin²(x) 곱하기 1은 sin²(x)이고 sin²(x)(-sin²(x))는 -sin⁴(x)입니다 이 모든 것에 cos(x)dx가 곱해집니다 이 모든 것에 cos(x)dx가 곱해집니다 식이 슬슬 재밌어지네요 sin²(x) - sin⁴(x)가 있고 sine함수의 도함수 cos(x)가 곱해져 있습니다 sine함수의 도함수 cos(x)가 곱해져 있습니다 이것이 우리가 식을 약간 변형한 이유죠 이제 치환적분을 할 수 있게 되었습니다 왜냐하면 우리는 전에 보라색으로 적겠습니다 u = sin(x)라 두면 u = sin(x)라 두면 du = cos(x)dx가 됩니다 그러면 이제 잘 들어맞는군요 왜냐하면 du가 여기 있고 이것은 u² - u⁴이 되기 때문이죠 우리는 역도함수를 구하는 방법을 압니다 처음부터 끝까지 이것을 부정적분으로 다시 쓸 수 있습니다 sin²(x) 대신에 sin(x)는 u와 같고 그러므로 다시 쓰면 u² - u⁴ u² - u⁴ (u² - u⁴)du 입니다 이 식은 매우 간단하게도 u³/3 u³/3 - u⁵/5 + c가 됩니다 그리고 역치환을 하면 됩니다 u 대신에 우리는 sin(x)를 넣고 싶습니다 sin³(x) sin³(x)/3 sin³(x)/3 - sin⁵(x) 5를 다시 쓸게요 sin³(x)/3 - sin⁵(x)/5 sin³(x)/3 - sin⁵(x)/5 + c가 됩니다 적분이 끝났습니다