부분 적분법: 정적분

이번 시간에는 xcosx의 0부터 π까지의 정적분을 계산해 봅시다 항상 그랬듯이 강의를 멈추고 스스로 계산해 보세요 식을 보자마자 부정적분을 구하여 π일 때 값을 계산하고 0일 때 값을 빼는 것이 바로 보이지는 않습니다 따라서 조금 더 정교한 기술을 사용해야 할 것입니다 일반적으로 이 함수들의 곱은 함수들 중 하나가 cosx처럼 복잡한 과정 없이 부정적분을 구하기 쉽다면 x와 같은 다른 함수의 도함수를 구한다면 더 쉬워집니다 이 경우, 1이 되겠네요 부분적분을 사용하라는 좋은 신호군요 부분적분을 떠올려 봅시다 부분적분을 해보죠 적분을 구하는데 부정적분을 먼저 구하고 π일 때와 0일 때 계산합니다 ∫f(x)g'(x)dx 가 있습니다 ∫f(x)g'(x)dx 가 있습니다 이는 지난 강의에서 증명하였습니다 미분학에서 배운 곱셈규칙으로부터 알 수 있죠 f(x)g(x) - 두 식의 위치를 바꾸어서 ∫f'(x)g(x)dx 입니다 반복해서 이야기하자면 f(x)를 구하고자 하는데 이 도함수를 구하면 간단하게 되고 g'(x)를 구하고자 한다면 그 부정적분을 구해야 하므로 더 복잡해지지 않습니다 더 복잡해지지 않습니다 f(x)의 도함수를 구할 때 간단해진다면 그리고 g'(x)가 그 부정적분을 구할 때 더 복잡해지지 않는다면 이 식의 부정적분은 구하기 더욱 쉬워질 것입니다 한번 해봅시다 x와 cosx 중에서 도함수가 더 간단한 함수는 무엇일까요? x의 도함수는 1이므로 이것을 f(x)라고 하겠습니다 f(x) = x 이고 f'(x) = 1 입니다 그렇다면 g(x)는 무엇일까요? g(x)인 cosx의 부정적분을 구해도 더 복잡해지지 않습니다 cosx의 부정적분은 sinx입니다 따라서 g'(x) = cosx 입니다 따라서 g'(x) = cosx 입니다 g(x) = sinx 이고 반대로 생각해보면 sinx의 도함수는 cosx 입니다 C를 더해야 한다고 생각할 수도 있는데 잊지 마세요 정적분을 계산하는 것이므로 임의의 상수들은 필요 없습니다 계속 계산해 봅시다 부분적분을 적용하였습니다 이 식을 계산하면 아래에 나타내 보겠습니다 아래에 나타내 보겠습니다 f(x)g(x)는 f(x) = x이고 g(x) = sinx이므로 x·sinx - ∫ f'(x) = 1이므로 1 × g(x) g(x) = sinx이므로 1 × sinx 이는 sinx이므로 더 간단히 만들 수 있습니다 ∫ sinx dx 정적분을 구해야 하죠 π일 때와 0일 때 전체 식을 계산합니다 π일 때와 0일 때 전체 식을 계산합니다 그 다음 둘의 차를 계산합니다 sinx의 부정적분은 무엇일까요? 부정적분은 cosx의 도함수가 -sinx이므로 마이너스 부호를 적분 안에 집어넣으면 마이너스 부호를 적분 안에 집어넣으면 + ∫ -sinx dx 입니다 명백하게 이 식의 부정적분은 cosx 이므로 이 식은 cosx가 되고 적분한계에서의 값을 계산합니다 π일 때 전체 식을 계산합니다 πsinπ + cosπ πsinπ + cosπ 그 후 0일 때의 전체 식을 계산하여 뺍니다 다른 색으로 표시할게요 0sin0 +cos0 0sin0 +cos0 sinπ = 0 이므로 사라집니다 cosπ = -1 입니다 이것은 0이고 cos0 = 1 이므로 -1 - 1 이 되어 -2가 나옵니다 이상입니다 부분적분을 이용하여 이 정적분을 계산하였습니다