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부분 적분법: ∫ln(x)dx

동영상 대본

이 비디오의 목적은 자연 로그 x의 부정적분을 찾기 위함입니다 어떻게 접근해야 할지가 문제인데 부분 적분을 이용해야 한다는 것을 알고도 어떻게 시작을 해야할지 막막할거에요 일단 두 함수의 곱의 부정 적분을 찾아야 합니다 여기에 함수 자연로그 x가 있네요 이 부정적분을 자연로그x 곱하기 1dx로 바꿔쓰면 조금 쉬워지겠네요 여기엔 두 함수의 곱이 있습니다 하나는 x의 함수이죠 사실 x와는 상관이 없어요 어차피 1이 될거지만 fx=1이라고 생각해도 됩니다 이젠 부분 적분을 할수 있겠죠? 부분 적분은 하나의 함수와 또 다른 함수 적분의 곱이라고 할수 있어요 바로 부분적분법입니다 많이 봤던 거죠? 두 함수의 곱과 같습니다 f(x)와 g(x)를 곱하고 역도함수를 빼면 되죠 f(x)와 g'(x)를 쓰는 대신 f'(x)와 g(x)를 쓰는 거에요 이미 여러번 해봤던 거네요 이 문제를 풀어보았을때, f와 g는 값이 뭘까요? f(x)의 값을 알려면 먼저 쉽게 미분을 할수 있는 것을 찾아야 해요 미분을 하면 문제를 더 간단하게 만들수 있기 때문이죠 g'(x)의 값을 알려면 역도함수가 쉽게 될수 있는 것을 찾아야 해요 f(x)가 될수 있는 함수는 자연로그함수 입니다 미분을 하면 1/x가 나오죠 한번 써 볼까요? f(x)가 자연로그함수 이고, f'(x)는 1/x입니다 g'(x)에는 1을 넣어 볼까요? g'(x)는 1 입니다 g(x)는 x가 될수 있다는 뜻이죠 다시 돌아가 봅시다 이건 f(x) 곱하기 g(x)가 될거에요 f(x)와 g(x)의 곱셈은 x와 lnx의 곰셈과 같아요 g(x)는 x이고 f(x)는 자연로그함수x 네요 x는 보통 자연로그함수앞에 놓여집니다 헷갈리지 않게 하기 위함이죠 xlnx 빼기 f'(x)의 부정적분은 1/x곱하기 g(x), 또는 x가 됩니다 바로 xdx가 되는거죠 어떤 일이 벌여질까요? 적분 안에 있는 것은 1/x와 x의 곰셈입니다 답은 1입니다 정말 간단해졌네요 여기에 써볼게요 ln x의 적분은 ln x의 적분은 x ln x 빼기 dx의 부정적분, 또는 1 dx의 부정적분, 또는 1dx의 적분 이라고 할수 있죠. 1의 부정적분은 -x이며 이건 ln x의 역도함수입니다 역도함수를 쓰려면 끝에 +c 를 붙혀줘야 해요 이제 끝이네요 자연로그함수x 의 부정적분을 알아냈습니다 체크를 해보자면 찾아낸 담에다가 미분을 해보세요 자연로그함수x가 나올겁니다