부분 적분법: ∫x⋅cos(x)dx

저번 비디오에서, 저번에 이 공식이 여러 함수들의 도함수를 알아내거나 풀어내는데 유용하다고 말했습니다 정말인지 확인해봅시다 x 곱하기 cos x의 도함수를 구해봅시다 이 공식을 보면, 어떤 부분은 f(x)에 나머지는 g'(x)에 대입해야 합니다 문제는, f(x)를 x에, g'(x)를 cos x로 대입할지 아니면 그 반대로 f(x)를 cos x g'(x)를 x로 대입해야할지입니다 여기서 신경써야 할 것은 공식의 우변을 보고 그 식을 풀어야 한다는 점입니다 그리고 우변엔 f(x)의 도함수와 g(x)의 곱이 있습니다 따라서 여러분이 해야 할 것은 f(x)를 f(x)의 도함수가 f(x)보다 단순하도록 잡는 것입니다 g'(x)는 원함수가 복합하지 않게 잡아야 합니다 이 경우에서 f(x)를 x로 잡게 된다면 f'(x)는 당연히 간단해지게 됩니다 f'(x)는 1이 됩니다 이제 g'(x)에 cos x로 잡아준다면 원함수는 sin x로, 더 이상 복잡하지 않습니다 하지만 만약 반대로 잡았다면, 만약 f(x)를 cos x로 잡았다면 f'(x)는 sin x로, 그다지 복잡하지 않습니다 하지만, g'(x)를 x로 잡아준다면 원함수를 찾아야 하므로 원함수는 x의 제곱이 될 것입니다 더 복잡해지게 되는 것입니다 여기서 정리를 해봅시다 f(x)에는 x를 대입시킵니다 이는 f(x)의 도함수를 1로 만들기 위함입니다 그리고 g'(x)에는 cos x를 대입시킵니다 g(x)는 cos x의 도함수, sin x가 됩니다 이렇게 함수들을 두고 공식을 적용해 봅시다 우변에 f(x) 곱하기 g(x)가 있습니다 f(x)는 x, g(x)는 sin x입니다 여기서 f(x) 즉, 1과 g(x) , sin x 의 곱의 원함수를 빼야합니다 식을 매우 간단하게 만들었습니다 x와 cos x 의 곱의 원함수를 구해야 하는 문제에서 sin x의 원함수를 구하는 문제로 바꾸었습니다 그리고 sin x의 원함수는 간단하게 -cos x임을 알고 있습니다 이제 원함수를 구하는 것이 다 끝났으므로 적분 상수 c를 더해야 합니다 이것을 다 정리해 보면, x 곱하기 sin x 빼기 sin x의 원함수 즉, -cos x를 빼야 합니다 그리고, 마지막으로 적분 상수 c를 더해주어야 합니다 상수를 더하거나 빼주어도 됩니다 적분 상수 c는 그냥 임의의 상수를 보여줍니다 심지어 음수일수도 있습니다 따라서 이 모든 것이 x sinx 빼기 이제 더하기가 되네요 cos x 가 됩니다 이제 끝났습니다 원함수를 구할 수 없었던 함수도 이젠 구할 수 있게 되었습니다