음수인 정적분

이미 정적분이 무슨 의미인지 생각해 보았습니다 만약 a에서 b까지 f(x) dx의 정적분을 구한다면 만약 a에서 b까지 f(x) dx의 정적분을 구한다면 이는 함수 f 아래의 넓이라고 생각할 수 있습니다 이는 함수 f 아래의 넓이라고 생각할 수 있습니다 이것은 y축 이것은 x축입니다 그리고 y = f(x)는 이렇다고 하죠 그리고 y = f(x)는 이렇다고 하죠 그리고 여기가 a고 여기가 b라면 이 방정식을 이 넓이와 같다고 볼 수 있습니다 하지만 함수가 x축 위에 있지 않다면 어떡할까요? x축 밑에 있다면요? 이 둘은 같습니다 그런 경우를 그려보겠습니다 그런 경우를 그려보겠습니다 이건 x축 이건 y축입니다 이런 함수가 있다고 합시다 이런 함수가 있다고 합시다 이건 y = g(x)입니다 여기가 a고 여기가 b라고 해 봅시다 여기의 넓이가 5와 같다고 해 보겠습니다 a에서 b까지 g(x) dx의 정적분이 a에서 b까지 g(x) dx의 정적분이 무엇이냐고 묻는다면 어떨 것이라 생각하시나요? 곡선과 x축 사이의 넓이라고 말하고 싶을 수 있습니다 곡선과 x축 사이의 넓이라고 말하고 싶을 수 있습니다 이건 그냥 5라고 할 수도 있겠죠 이건 그냥 5라고 할 수도 있겠죠 하지만 조심해야 합니다 곡선 위, x축 아래의 넓이를 볼 때와 곡선 위, x축 아래의 넓이를 볼 때와 곡선 아래, x축 위를 볼 때를 비교하면 이 정적분은 음의 넓이를 가집니다 이 정적분은 음의 넓이를 가집니다 나중에 왜 이 사실이 많은 적분의 성질에 도움이 되는지 보게 될텐데 간단히 이해가 필요하다면 속도와 시간 그래프를 생각해 봅시다 그러니까 그러니까 가로축이 시간이고 세로축이 속도라고 합시다 속도의 단위는 m/s고 시간은 초단위입니다 시간은 초단위입니다 두 가지 경우를 보겠습니다 먼저 속도 시간 그래프가 있다고 해봅시다 v_1(t) = 3이라고 하죠 3m/s니까 1, 2, 3까지 가서 이럴 것입니다 이럴 것입니다 v_1(t)는 이렇습니다 1에서 5까지 v_1(t) dt의 정적분을 보면 1에서 5까지 v_1(t) dt의 정적분을 보면 이것은 무엇과 같을까요? 함수가 t축 위에 있습니다 그러니 1부터 5까지 이 넓이를 생각해 볼 수 있습니다 그리고 이 넓이는 계산하기 꽤 간단합니다 3m/s와 4초의 곱입니다 이게 시간의 변화입니다 따라서 이는 12m입니다 12m와 같습니다 이렇게 이해해 볼 수 있습니다 이것이 위치의 변화를 나타낸다고요 속도가 3m/s고 이는 양수이므로 3m/s의 속도로 오른쪽으로 간다고 생각할 수 있습니다 위치가 얼마나 변하냐고요? 오른쪽으로 12m를 갔을 것입니다 미적분학도 필요 없습니다 3m/s에 4초를 곱하면 12m가 됩니다 만약 이 반대였다면 어떨까요? 다른 속도 함수는 v_2(t) = -2m/s라고 합시다 v_2(t) = -2m/s라고 합시다 단순히 상수 -2입니다 이게 v_2(t)입니다 이게 v_2(t)입니다 1부터 5까지 v_2(t)의 정적분은 무엇과 같아야 할까요? 1부터 5까지 v_2(t)의 정적분은 무엇과 같아야 할까요? 1부터 5까지 v_2(t)의 정적분은 무엇과 같아야 할까요? 위치의 변화와 같아야 합니다 하지만 속도가 음수라면 그건 왼쪽으로 움직인다는 뜻입니다 위치의 변화도 왼쪽이어야 합니다 오른쪽이 아닙니다 이 넓이를 보면 됩니다 이걸 직사각형으로 보면 2 · 4이므로 8입니다 하지만 조심해야 합니다 수평축 아래 함수 위에 있기 때문에 이건 음수입니다 말이 됩니다 2m/s로 왼쪽으로 4초동안 가면 또는 -2m/s로 4초를 가면 위치의 변화는 -8m입니다 위치의 변화는 -8m입니다 왼쪽으로 8m를 가는 것이죠 일반적으로 음수면 왼쪽으로 간다고 생각합니다 여기서 가져가야 할 점음 함수 밑에 있고 수평축 위에 있고 a가 b보다 작다면 정적분은 양수입니다 a가 b보다 작지만 그 구간에서 함수가 수평축 밑에 있다면 정적분은 음수가 됩니다 추후에 둘 다인 정적분도 살펴볼 것입니다 그건 약간 더 복잡합니다