미적분학의 기본 정리를 사용하여 도함수 찾기: x가 두 구간에 다 존재할 때

이 식의 도함수를 만들 수 있는지 즉 F'x (F프라임 x) 를 만들수 있는지 봅시다 그리고 다시 한번 여기서 당신이 정적분의 기본정리를 쓸 수 있을 것 같네요 문제에서 주는 힌트는 x 함수를 주는 정적분의 도함수를 가지고 있다는 것 입니다 그런데 여기에서 위와 아래 둘다에 x가 있습니다 그리고 정적분의 기본정리에서 적어도 우리가 본것에서 우리가 x를 단지 상계에 가지고 있을때만 됩니다 그리고 물론 이것은 x제곱입니다 그러나 우리는 예를 우리가 연쇄법 (합성함수의 미분법) 을 사용했을때 봤습니다 그러나 어떻게 우리가 이것을 나눌수있을까요 그리고 우리가 정적분의 기본공식을 적용하기에 친근해 하는 모습으로 바꿀 수 있을까요? 그리고 이것을 현실화하기위해서 우리는 무엇을 나타내는지를 그래프로 그려봐야합니다 그래서 이것을 소문자 f(x) 혹은 f(t)라고 말해봅시다 그리고 이것을 소문자 f(t)라고 부릅시다 그리고 그래프를 그려봅시다 구간 x와 x제곱 사이에서 이것이 y축이라고 하고 이것을 t축이라고 합시다 그리고 여기가 y= f(t)인 그래프라고 합시다 일반적으로 그리고 있어요 정확히 이것이 어떻게 보이는지 모르겠네요 그리고 x와 x제곱사이의 구간에 대해서 말할것입니다 그래서 만약 우리가 구간 x사이에서 말한다면 그리고 그것은 바로 여기고, 이것은 하계고 그리서 x그리고 x제곱 이것은 적어도 이 정적분에서 하계입니다 우리는 확실히 모릅니다 어떤 작은 x를 선택하는지에 달려있습니다 그러나 말해봅시다 시각화를 쉽게하기위해서 우리가 x를 여기에 그리고 x제곱을 여기에 그리겠습니다 x제곱을 여기에 그리겠습니다 그래서 이 전체 표현, 이 전체 정적분은 이 전체 구역을, 이 전체 곡선아래의 구역을 필수적으로 나타내고있습니다 이 전체 곡선아래의 구역을 나타내고있습니다 우리가 해야 하는 것은 어딘가 x와 x제곱 사이에 정수를 나타내는 것입니다 우리가 해야 하는 것은 어딘가 x와 x제곱 사이에 정수를 나타내는 것입니다 정수 c를 나타내고 이 구역을 2개의 다른 구역으로 c로 나눠봅시다 그래서 같은 전체 구역을 우리는 이제 이것을 두개의 다른 구간으로 적어봅시다 여기 이 구역을 나타내는 한 구간 그리고 여기에 이 구역을 나타내는 또 다른 구간 그리고 여기서 우리는 c가 x와 x제곱 사이의 정수라고 말할 수 있습니다 그럼 어떻게 우리가 보라색 구역을 나타낼 수 있을까요? 음, 이것은-- 그래서 이 식은 이 두 구역의 합과 같습니다 우리가 볼 수있는 보라색구역은 정적분 x부터 c까지,함수 f(t)는 t분에 코사인 t dt 입니다 그리고 나서 여기에 초록색 구역을 더할 것 입니다 그러면 우리는 원래 구역이 됩니다 그래서 초록색 구역은, 우리의 적분의 하계는 이제 정수 c입니다 그리고 우리의 적분의 상계는 x제곱입니다 그리고 t분에 코사인 t dt 그리고 이 형태는, 만약 연쇄법 (합성함수의 미분법)을 적용할 줄 안다면 우리는 정적분의 기본 정리를 적용할 수 있습니다 그리고 이것은 거의 기본형태가 되었습니다 우리는 어디서 그 x가 상계인지 찾아야합니다 그리고 우리는 벌써 무엇이 일어날지 압니다 우리는 이 두 값을 교환할수 있습니다 그러나 그 적분이 음의 값이 될 것입니다 그래서 이것은 --다시 적겠습니다 마이너스 정적분 c에서 x까지 t분에 코사인t dt가 됩니다 그리고 나서 우리는 양의 값 정적분이 있습니다 이것은 정적분 c에서 x제곱 t분에 코사인 t dt 입니다 그래서 우리가 다시 적으면 우리가 정적분의 기본 정리를 적용 시키곤 했던 형태입니다 그래서 만약 우리가 F'(x) 를 찾고싶다면 여기서 미분을 합니다 우리는 앞에 음의 값을 가집니다 이것은 마이너스 x분에 코사인 x가 됩니다 다시한번 , 정적분의 기본정리를 쓰세요 그리고 나면 , 더하기---먼저 x제곱에 관해서 미분을 하면, 이것은 값이 x제곱 분에 코사인 x제곱이 됩니다 t를 볼때마다 이것을 x제곱으로 바꿔주세요 그려면 x제곱을 x에 관해서 미분한것 만큽 곱해야 합니다 그래서 이것의 값이-- x제곱 미분을 x에 관하여 하면 2x입니다 그리고 끝났네요 우리는 이제 이것을 간단히 하면 됩니다 그래서 이것 모두는 마이너스 x분에 코사인x 더하기--음 이것은 지워져야하네요 더하기 x분에 2코사인x제곱 그리고 우리가 이것을 더 간단히 할수있네요 이것들을 우리가 합치면--모든것은 x분에 2코사인 x제곱 빼기 코사인x 그럼 끝났네요