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주요 내용

적분법이란?

적분법의 기본적인 아이디어는 곡선 아래에 있는 넓이를 구하는 것입니다. 이 넓이를 정확히 찾기 위해서, 가로의 길이가 무한히 작은 무한히 많은 직사각형으로 나누어 모두 더함으로서 이 넓이를 구할 수 있습니다. 미적분학은 무한대인 것을 사용하기 좋습니다. 이 아이디어는 매우 중요하고 이 비디오에서 볼 수 있듯이 미분법과 매우 밀접한 관련이 있습니다.

동영상 대본

y = f(x)를 나타내는 곡선이 있습니다 y = f(x)를 나타내는 곡선이 있습니다 그리고 여기에는 수학자들이 오랫동안 생각했던 고전 문제가 있습니다 곡선 아래의 넓이를 어떻게 구할까요? 곡선 아래 x축 위이고 두 경계 사이라고 합시다 x = a와 x = b 사이라고 하죠 경계를 그려줍니다 왼쪽 경계고 오른쪽 경계입니다 여기 이 넓이를 생각해 보고자 합니다 미적분이 없다면 점점 더 나은 근사치를 구할 수 있습니다 어떻게 할까요? 이 부분을 a에서 b로 가는 여러 Δx로 나눌 수 있습니다 같은 크기의 부분일 수도 있고 아닐 수도 있습니다 여기서는 시각화를 위해 대강 같은 크기의 부분으로 나누겠습니다 이게 첫 번째고 이게 두 번째 이게 세 번째 이게 네 번째 이게 다섯 번째이고 이게 여섯 번째 부분입니다 그리고 각각 이것이 Δx입니다 이걸 Δx_1 이건 Δx_2라고 하고 여기 길이는 Δx_3이고 Δx_n까지 있습니다 더 일반적으로 표현해 보겠습니다 여기서 해 볼 수 있는 것은 여기 정의된 직사각형의 넓이를 더하는 것입니다 그리고 높이는 그리고 높이는 오른쪽 경계의 함숫값에 기반하고요 꼭 그럴 필요는 없습니다 이 Δx 안의 어느 함숫값도 괜찮습니다 이 Δx 안의 어느 함숫값도 괜찮습니다 이건 하나의 방법일 뿐입니다 이에 대해선 이후 동영상에서 더 다뤄보겠습니다 그러면 이렇게 하고 그러면 이렇게 하고 이제 근사를 만들었습니다 이 각각의 사각형은 x_i가 오른쪽 경계일 때 f(x_i)Δx_i입니다 x_i가 오른쪽 경계일 때 f(x_i)Δx_i입니다 x_i가 오른쪽 경계일 때 f(x_i)Δx_i입니다 이건 각각의 직사각형입니다 그리고 이를 모두 더하면 이 넓이의 근사치를 구할 수 있습니다 그리고 유한한 수를 사용한다면 Δx를 더 작게 만들어 더 정확해질 수 있습니다 Δx를 더 작게 만들어 더 정확해질 수 있습니다 그렇게 이런 직사각형이 더 많아지면 여기에선 i가 1에서 n까지입니다 여기에선 i가 1에서 n까지입니다 여기에선 i가 1에서 n까지입니다 Δx가 점점 더 얇아지고 Δx가 점점 더 얇아지고 n은 점점 커지면 어떻게 될까요? Δx가 무한소에 가까워질수록 n은 무한대에 가까워집니다 이제 무언가 느껴지실 겁니다 n이 무한대에 가까워질 때의 값 n이 무한대에 가까워질 때의 값 혹은 Δx가 아주 아주 작아질 때의 값을 생각할 수 있습니다 그리고 n이 무한대에 가까워지며 근사값이 점점 더 정확해지는 것이 적분법의 기초가 되는 개념입니다 이걸 적분법이라고 하는 이유는 중점적으로 사용하는 연산이 무한소로 작은 것을 무한히 더하는 것이며 무한소로 작은 것을 무한히 더하는 것이며 이것이 적분이기 때문입니다 이 경우 이건 a에서 b까지의 적분입니다 이 경우 이건 a에서 b까지의 적분입니다 곧 더 배우겠지만 이건 f(x)의 정적분입니다 이건 f(x)의 정적분입니다 여기 비슷한 점을 볼 수 있습니다 여기 적분 부호가 시그마 부호와 비슷합니다 모두 합을 나타내는데 이산인 개수의 것을 더하는 대신 무한히 얇은 것을 무한히 많이 더합니다 무한히 얇은 것을 무한히 많이 더합니다 Δx 대신 dx가 있습니다 무한소로 작은 것을 나타내죠 이것이 적분의 표현법입니다 여기 이것이 적분 부호입니다 미적분에서 이것이 흥미로운 점은 극한의 개념이 들어 있을 뿐만 아니라 더 유용한 점은 미분과 연결되어 있다는 점이고 이는 수학에서 가장 아름다운 것 중 하나입니다 미적분학의 기본정리에서 보겠지만 적분의 개념은 미분의 개념과 아주 가까이 연결되어 있고 사실 부정적분의 개념은 미분학에서 본 문제들에서 어떤 함수가 있으면 그 도함수를 구할 수 있었다면 어떤 함수가 있으면 그 도함수를 구할 수 있었다면 적분학에서는 도함수에서 시작해 적분을 통해 부정적분을 구하는 경우가 많습니다 적분을 통해 부정적분을 구하는 경우가 많습니다 적분을 통해 부정적분을 구하는 경우가 많습니다 도함수의 원래 함수를 말이죠 보게 되겠지만 이 모두가 연결되어 있습니다 곡선 아래의 넓이란 개념과 무한히 작은 것을 무한히 많이 더하는 것의 극한의 개념 무한히 작은 것을 무한히 많이 더하는 것의 극한의 개념 부정적분의 개념은 적분학을 배우다 보면 다 연결됩니다