이상 적분이란?

이 비디오에서 알아내고 싶은 것은 x제곱 분의 일의 그래프 밑에 있는 넓이에요. x는 1에서 시작해서 끝마치는 x 좌표는 없고요. 이것은 x가 무한으로 가는 것과 같죠. 그래서 전체 넓이를 알고 싶은 거에요. 이것을 나타내는 방법은 정적분이나 혹은 이상 적분이 있죠. 1에서 시작해서 계속 끝없이 가기 때문에 무한으로 적어요. 그리고 x제곱의 1 dx를 쓰죠. 다시 헷갈리지 않게 말하면 여기는 정적분 기호에요. 이건 어떻게 풀까요? 의미를 보자면 아까 적은 그 정적분이 리미트를 씌우면 n이 무한으로 다가간다고 해요. 이것은 좋은데요. 어떻게 계산하는지 아니까요. 왜냐하면 이것은 x 좌표 1에서부터 n까지 정적분한 거니까요. 그리고 리미트를 어떻게 씌우는지도 알잖아요. n이 무한으로 갈때를 계산해야 하죠. 지금 계산할수 있는지 확인해볼까요? 두번째 미적분의 기본적인 정리 혹은 미적분의 기본 정리 두번째 부분은 이 부분에 대해서 무엇을 말해주냐면 잠깐만요, 리미트를 쓸게요. 이 부분 다시 쓸게요. 리미트가 n이 무한으로 다가가면 두번째 미적분 정리를 쓸게요. 이제 x제곱 분의 1을 정적분할거에요. x의 -2제곱을 정적분하면요 -x의 -1 제곱이 되요. -x의 -1 제곱 혹은 -x 분의 1이죠. 즉 - 1/x는 정적분이죠. 1부터 n 까지 계산 할꺼에요. 이것은 곧 n이 무한으로 다가가면서 리미트와 같아지죠. 이것을 n을 대입하면 -1/n 이 되요. 여기서 1을 대입한 값을 뺄거에요. -1/1 그러니깐 -1이 되죠. 여기에 -1이고요. 리미트를 씌어서 무한으로 다가가게 할게요. 이게 저기에 있는 거를 풀어쓴거에요. 아직 리미트를 구하지 않았어요. n이 무한으로 다가가면 리미트와 같아져요. 이것은 +1인데요. 1-1/n으로 쓸게요. 다행히도 리미트가 존재하네요. 리미트 n이 무한으로 가면서 이것은 점점 0에 가까워지죠. 리미트에서 분모가 무한으로 가면 0으로 봐요. 그래서 여기는 1이 되죠. 경계가 없는 이 넓이가 있어요. 무한으로 가죠. 하지만 한정된 넓이가 있죠. 그리고 그 넓이는 사실 1과 같아요. 이번에는 정적분이었어요. 사실 이것을 계산할 수 있었고, 한계가 있는 숫자도 찾아냈고, 그래서 이 적분은 수렴한다고 할 수 있어요. 무슨 이유가 되었든 이것은 무한이였고 유한한 숫자를 찾지 못했어요. 만약 이 넓이가 무한이였다면 분산이라고 말했겠죠. 여기서 깔끔하게 계산했어요. 이 넓이는 깔끔하게 정확히 1 이였어요.