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주요 내용

두 개의 무한인 경계를 가진 이상 적분

범위가 무한대일 때와 삼각 치환의 역이 포함된 이상 적분 심화 문제 예시입니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

여기 그래프의 식은 여기 그래프의 식은 y= 250/(25+x²) 입니다 이 동영상에서 알고자 하는 것은 이 곡선과 x축 사이의 전체 면적입니다 여기 하얀색으로 칠한 부분을 말하는 거죠 여기에는 우리 눈에 안 보이는 부분까지 포함됩니다 좌/우측으로 계속 진행하는 부분이죠 x축의 음의 무한대부터 양의 무한대까지를 말하는 겁니다 먼저, 이걸 어떻게 나타낼 수 있을까요? 이것은 이상적분이라고 할 수 있습니다 이 부분을 부정적분으로 나타냅니다 이 식에서 음의 무한대에서부터 양의 무한대까지에 해당하는 부분입니다 여기서 식은 250/(25 + x2) dx 입니다 우리는 이미 이상적분에 대해 살펴봤습니다 경곗값 중 하나가 무한대인 적분이었죠 그런데 양의 무한대에서 경곗값이 하나 있고 음의 무한대에서 경곗값이 하나 있을 때는 어떻게 해야 할까요? 다른 두 개의 경곗값에는 극한을 취할 수 없습니다 따라서 이 상황을 해결하려면 이 부분을 나누어서 두 개의 이상적분으로 만들어줍니다 음의 무한대부터 0까지 파란색 부분에 해당하는 이상적분이 하나 나오죠 따라서 이렇게 말할 수 있습니다 이 이상적분은 250/(25+x²) dx의 음의 무한대부터 0까지로 나타낼 수 있고 그리고 이 식의 0부터 양의 무한대까지에 해당하는 이상적분을 더해줍니다 이 이상적분 또는 정적분은 250/(25+x²) dx의 0부터 양의 무한대까지로 표시됩니다 이제 어떻게 해야 할지 감이 오죠 파란색 부분을 다시 써봅시다 이 부분은 lim n→ -∞ 일 때 ∫ n에서 0까지 250/(25+x2) dx로 나타낼 수 있습니다 칠판 공간이 부족하네요 앞선 식에서 n을 썼기 때문에 이젠 m이라고 하겠습니다 이 부분은 lim m→ ∞ 일 때 ∫ 0에서 m까지 250/(25+x2) dx로 나타낼 수 있습니다 이제 이 식들을 따져보기만 하면 됩니다 그러려면 250/(25+x²) dx의 역도 함수를 찾아야 합니다 찾아봅시다 여기 왼쪽에 풀겠습니다 250/(25+x²) dx의 역도 함수를 찾아야 하죠? 삼각 치환법이 좋을 것이라고 생각이 들 겁니다 a² + x²의 패턴이 보이시죠? 이 경우에선 a는 5가 될 겁니다 x는 a tan 𝜽로 치환될 수 있으므로 x = 5 tan 𝜽 후에 역치환을 할 것이기 때문에 이 식을 x/5 = tan 𝜽로 표현할 수 있습니다 x = 5 tan 𝜽 와 x/5 = tan 𝜽는 같다고 할 수 있습니다 𝜽는 다음과 같이 나타낼 수 있는데 이 식은 𝜽 = arc tan x/5가 됩니다 x = 5 tan 𝜽 와 𝜽 = arc tan x/5는 같다고 할 수 있습니다 이제 대입을 해 봅시다 그러기 전에 dx가 무엇을 나타내는지 알아봐야 합니다 dx = 5 sec² 𝜽 d 𝜽 dx = 5 sec² 𝜽 d 𝜽 dx = 5 sec² 𝜽 d 𝜽 이제 대입을 할 수 있겠죠 대입을 해 보면 250 dx는 250 * 5 sec² 𝜽가 됩니다 250 dx = 250 * 5 sec² 𝜽 가 되지요 위 식은 25 + x²의 분자가 됩니다 x²은 25 tan² 𝜽가 되고요 이제 이 식을 단순화시켜 봅시다 [(250 * 5 sec² 𝜽) * d𝜽] / 25 (1+tan² 𝜽) [(250 * 5 sec² 𝜽) * d𝜽] / 25 (1+tan² 𝜽) [(250 * 5 sec² 𝜽) * d𝜽] / 25 (1+tan² 𝜽) 250을 25로 나누면 10이 되고 1 + tan² 𝜽는 sec² 𝜽가 됩니다 tan² 𝜽는 sin² 𝜽/cos² 𝜽이고 1을 cos² 𝜽/ cos² 𝜽로 보았을 때 삼각함수 공식에 따라서 1 + tan² 𝜽는 sec² 𝜽가 됩니다 간단하게 이렇게 표현할 수 있습니다 sec² 𝜽/sec² 𝜽 =1 그러면 10 * 5 = 50 d𝜽가 남습니다 50을 적분 기호 밖으로 빼면 50 ∫ d 𝜽가 되고, 이것은 50 𝜽가 됩니다 이것들이 역도 함수임을 나타내기 위해서 상수 C를 더해줍니다 이 적분을 풀기 위해서는 가장 기본적인 역도 함수만이 필요합니다 지금은 𝜽로 표현되어있는 것들을 x로 표현해 보겠습니다 𝜽 = arc tan x/5 이므로 이 식은 50 arc tan x/5 + C가 됩니다 이 식들은 전부 역도 함수입니다 이 적분을 풀기 위해서 C를 0으로 놓겠습니다 이것을 해봅시다 파란색 식을 다시 써보면 lim n→ -∞ 일 때 lim n→ -∞ 일 때 50 arc tan x/5를 0과 n에서 값을 구하겠습니다 좌측의 식에 더해서 lim m→ ∞ 일 때 50 arctangent of x/5를 0과 m에서 값을 구하겠습니다 x/5에 괄호를 치겠습니다 자 이제 어떻게 될까요? 이렇게 써보겠습니다 lim n→ -∞ [50 arc tan (0/5) - 50 arc tan (n/5)] lim n→ -∞ [50 arc tan (0/5) - 50 arc tan (n/5)] lim n→ -∞ [50 arc tan (0/5) - 50 arc tan (n/5)] lim n→ -∞ [50 arc tan (0/5) - 50 arc tan (n/5)] 좌측 식에 아래의 식을 더합니다 lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5) - 50 arc tan (0/5)] lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5) - 50 arc tan (0/5)] lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5) - 50 arc tan (0/5)] 이제 계산해 봅시다 이해를 돕기 위해서 단위원을 생각해 봅시다 단위원을 생각해 보면 arc tan 를 시각화하여 알 수 있습니다 tan를 나타내는 것은 어떤 각에 의한 기울기라고 생각할 수 있습니다 예를 들어 그림과 같은 각을 볼 수 있는데 이것은 양의 x축과 선이 이루는 각이라고 볼 수 있습니다 이 각에 대한 tan는 이 선의 기울기입니다 다음과 같이 생각해 볼 수 있습니다 우리가 0의 arc tan 값을 구하고자 할 때 0의 기울기를 가진 끝부분을 표현하면 기울기가 0인 끝부분의 각은 0입니다 따라서 arc tan 0은 0이 됩니다 그래서 50 * 0은 0이 됩니다 써보면 0입니다 그래서 남은 식은 lim n→ -∞ [-50 arc tan (n/5)] + lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5)] 입니다 lim n→ -∞ [-50 arc tan (n/5)] + lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5)] 입니다 lim n→ -∞ [-50 arc tan (n/5)] + lim m→ ∞ [50 arc tan (m/5)] 입니다 다음 단계를 봅시다 n이 - ∞일 때 극한을 -∞ 로 접근하는 끝부분의 기울기라고 볼 수 있습니다 점점 더 음의 값으로 가까워지면 음의 무한대에서 이 각은 -π/2 가 됩니다 -π/2 가 됩니다 다르게 말하자면 arc tan n/5의 극한값이 n이 음의 무한대에 접근할수록 -π/2 가 됩니다 그리고 여기에 -50을 곱합니다 -50 * -π/2 =25π =25π 이와 유사한 방법으로, arc tan m/5의 m이 무한대에 접근할수록 그 각의 끝부분의 기울기가 무한대에 접근합니다 그리고 기울기는 더욱 높아져서 수직에 가까워지는 것처럼 무한대에 접근합니다 따라서 m이 무한대에 접근함에 따라 arc tan m/5가 π/2가 됩니다 이것은 π/2의 각입니다 주황색 식에서 50 * π/2는 25π가 되고 그래프의 파란색 부분은 25π가 됩니다 주황색 면적은 25π입니다 그래프의 곡선 아래의 전체 면적을 찾는 원래 문제로 돌아간다면 시도하기에 좋은 질문인데 25π + 25π = 50π 라는 답이 나옵니다 그러면 문제가 끝나게 됩니다 커넥트 번역 봉사단 | 권주영