이상 적분의 발산

1/x의 그래프가 주어져 있습니다 궁금한 것은 x=1부터 무한대까지의 곡선 아래의 넓이입니다 이 부분의 넓이가 궁금한거죠 한번 해봅시다 우리는 이 넓이를 1부터 무한대까지의 1/x dx의 이상적분으로 구할 수 있습니다 그러니까- 잠깐만요, 노란색으로 합시다 우리는 이 적분을 n이 무한대로 갈 때의 극한으로 생각할 수 있습니다 1부터 n까지의 1/x dx의 적분의 극한이죠 그리고 이건 n이 무한대로 갈 때의 1/x의 부정적분인 ln|x|의 극한이죠 그러니까 여기에 ln|x|를 쓰면 됩니다 사실 여기서 절댓값은 무시할 수 있습니다 그냥 x라고 해도 되는데 x가 양수이기 때문이죠 하지만 일단은 절댓값을 쓰겠습니다 ln|x|의 값을 1부터 n까지 계산해줍시다 그리고 이건 n이 무한으로 갈 때의, 이걸 n에서 계산하면, 여기에 ln |n|을 써야 하지만 n이 양수니까요 단순히 ln n이라고 쓰겠습니다 여기서 ln |1|, 또는 단순히 ln(1)을 빼면 ln(1)은 0이죠 e의 0제곱이 1이니까요 그래서 이건 n이 무한으로 갈 때 ln(n)의 극한이 됩니다 이게 재밌는 부분인데, ln(n)은 계속 커지죠 ln(x)는 계속해서 증가합니다 점점 그 속도가 느려지지만 아무튼 계속 증가합니다 그러니까 이 극한은 무한대입니다 그러니까 이 넓이는 유한하지 않아요 무한하죠 이 부분은 무한히 넓습니다 재미있죠 이 함수가 좀 더 빨리 줄어들면 그러니까 이게 1/x²이면 넓이는 유한하죠 그런데 이 부분은 무한히 넓습니다 그러니까 여기 이 이상적분은 발산한다고 말할 수 있습니다 수고하셨어요