이상 적분 복습

이상 적분은 무한한 넓이를 다루는 정적분입니다.

이상 적분의 종류 중에 하나는 적어도 하나의 종점이 무한대까지 이어지는 적분입니다. 예를 들어, ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍는 이상 적분입니다. 이는 ${\displaystyle \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^b{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍라고 볼 수 있습니다.

다른 종류의 이상 적분은 종점은 유한하지만 적분한 함수가 하나(혹은 둘)의 종점에서 발산하는 경우입니다. 예를 들어 ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍는 이상 적분입니다. 이는 ${\displaystyle \underset{a\to 0^{+}}{lim}{\int }_a^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍라고 볼 수도 있습니다.

무한한 넓이가 유한하다고요?! 정말인가요?! 그렇습니다! 모든 이상 적분이 유한한 값을 가지는 것은 아니지만 그런 것도 분명히 있습니다. 극한이 존재하면 적분이 수렴한다고 하고, 그렇지 않으면 발산한다고 합니다.

예를 들어 이상 적분 ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍를 계산해 봅시다. 위에서 말했듯이 이 적분을 ${\displaystyle \underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_1^b{\displaystyle \frac{1}{x^2}}dx}$‍라고 보면 유용합니다. 미적분학의 기본정리를 사용해 이 적분의 방정식을 구할 수 있습니다.

이제 적분은 없앴고 극한을 찾아야 합니다:

예를 들어 이상 적분 ${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍를 계산해 봅시다. 위에서 말했듯이 이 적분을 ${\displaystyle \underset{a\to 0}{lim}{\int }_a^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx}$‍라고 보면 유용합니다. 이번에도 미적분학의 기본정리를 사용해 이 적분의 방정식을 구할 수 있습니다.

이제 적분은 없앴고 극한을 찾아야 합니다: