이상 적분 복습

이상 적분은 무한한 넓이를 다루는 정적분입니다.

이상 적분의 종류 중에 하나는 적어도 하나의 종점이 무한대까지 이어지는 적분입니다. 예를 들어, $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x는 이상 적분입니다. 이는 $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x라고 볼 수 있습니다.

다른 종류의 이상 적분은 종점은 유한하지만 적분한 함수가 하나(혹은 둘)의 종점에서 발산하는 경우입니다. 예를 들어 $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x는 이상 적분입니다. 이는 $\displaystyle\lim_{a\to0^+}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$limit, start subscript, a, \to, 0, start superscript, plus, end superscript, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x라고 볼 수도 있습니다.

무한한 넓이가 유한하다고요?! 정말인가요?! 그렇습니다! 모든 이상 적분이 유한한 값을 가지는 것은 아니지만 그런 것도 분명히 있습니다. 극한이 존재하면 적분이 수렴한다고 하고, 그렇지 않으면 발산한다고 합니다.

예를 들어 이상 적분 $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x를 계산해 봅시다. 위에서 말했듯이 이 적분을 $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx$limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x라고 보면 유용합니다. 미적분학의 기본정리를 사용해 이 적분의 방정식을 구할 수 있습니다.

이제 적분은 없앴고 극한을 찾아야 합니다:

예를 들어 이상 적분 $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x를 계산해 봅시다. 위에서 말했듯이 이 적분을 $\displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx$limit, start subscript, a, \to, 0, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x라고 보면 유용합니다. 이번에도 미적분학의 기본정리를 사용해 이 적분의 방정식을 구할 수 있습니다.

이제 적분은 없앴고 극한을 찾아야 합니다: