미적분학의 기본 정리와 정적분

여기에 함수 하나가 있습니다 여기에 함수 하나가 있습니다 f는 c와 d 사이의 구간에서 연속인 함수입니다 a와 b 대신 c와 d를 사용하는 것은 a와 b를 나중에 사용할 것이기 때문입니다 그리고 여기에 새로운 함수 F가 있고 이 함수의 값은 c와 변수 x 사이에서 함수의 아랫부분의 넓이로 정의됩니다 f가 연속인 구간에서 만약 x가 여기에 있다면 곡선의 아래 넓이 중 c와 x 사이의 넓이를 의미하는 것이고 F는 f를 c에서 x까지 t에 대해 적분한 값입니다 그래서 F는 바로 이 영역입니다 이 곳이 바로 F(x)입니다 미적분학의 기본 정리는 함수 f가 이 구간에서 연속이라면 F(x)는 구간 내 모든 x에 대해 미분가능하고 F(x)의 도함수는, 확실히 하겠습니다 F(x)는 c와 d 사이의 임의의 x에 대해 미분가능하고, F(x)의 도함수는 f(x)와 같아지게 됩니다 좋습니다 자 제가 이 영상에서 하고 싶은 것은 미적분학의 첫 번째 기본정리를 두번째 부분, 즉 미적분학의 두 번째 기본정리와 연결시키는 것이고 이 정리는 정적분 값을 계산하는 데에 유용하게 쓰입니다 이제 F(b)에서 F(a)를 뺀 값에 대해 알아봅시다 그리고 a와 b는 모두 이 구간에 포함되어 있습니다 따라서 F(b), 그리고 b가 a보다 크다고 가정할 것입니다 b는 바로 여기에 있습니다 같은 색으로 할게요 b는 여기에 있습니다 F(b)의 값은 이와 같습니다 자 x가 보이는 곳에 b를 넣을 것이고 이 값은 c와 b사이에서 f(t) dt 의 정적분값과 동일하고 이것은 곡선의 아랫넓이 중 c와 b 사이의 넓이를 표현하는 또다른 방식입니다 그래서 F(b)는 이곳 이곳의 영역을 나타냅니다 이 값에서 우리는 F(a)를 뺄 것이고, 이는 f(t) dt의 c와 a 사이의 정적분 값입니다 a가 여기에 있다고 합시다 F(a)는 바로 이 영역 f(t) dt의 c와 a 사이의 영역입니다 바로 이 영역입니다 바로 이 영역입니다 여기에 있는 이 파란 영역에서 마젠타 색의 영역을 뺀다면 어떤 영역이 남을까요 바로 이 초록색 영역이 남을 것입니다 그리고 이것을 어떻게 표현하겠습니까? 어떤 수식으로 표현해야 할까요? 우리는 f(t) dt의 a와 b 사이의 정적분 값으로 표현할 수 있습니다 이제 되었습니다 여기에 있는 이 정리가 바로 미적분학의 두 번째 기본정리입니다 이것은 만약 f가 이 구간에서 연속이라면 이 영역이 f의 역도함수와 같다는 것을 알려줍니다 그리고 이곳에서 F(x)가 f(x)의 부정적분이라는 것을 알 수 있습니다 우리는 이것을 F(x)를 정의하는 방법으로 볼 수 있고, 그렇게 정의하지 않더라도 미적분학의 기본 정리는 F(x)가 f(x)의 부정적분이라는 사실을 알려줍니다 이 부분은 이런 사실을 알려줍니다 이런 꼴의 정적분이 있다면 그것은 b에서 계산된 부정적분 값에서 a에서 계산된 부정적분 값을 뺀 것과 동일합니다 보통 그것은 이렇게 보여집니다 순서를 바꿔보았습니다 f(t)의 a에서 b까지의 정적분 값은 f의 부정적분인 F가 b에서 계산된 값에서 a에서의 부정적분 값을 빼준 값과 일치합니다 그리고 이것은 미적분학 기본 정리의 두 번째 파트 혹은 미적분학의 두 번째 기본정리입니다 혹은 미적분학의 두 번째 기본정리입니다 이 정리는 적분 수업의 핵심이고 그것은 이 방법이 정적분 값을 계산할 때 실질적으로 사용하는 방법입니다 커넥트 번역 봉사단 | 윤종훈