역도함수와 부정적분

우리는 어떤 함수의 도함수를 구할 수 있습니다 X^2 를 미분하면 2X 가 나옵니다 자 그럼 X^2+1 를 미분하게 되면 또 2X 를 구할 수 있습니다 X^2+π 를 미분하는 경우에도 또 2X 가 나옵니다 X^2 의 도함수는 2X 고 X 에 대한 상수 π 의 도함수는 0 이기 때문입니다 X 에 대해 미분했을 때 1 도 그냥 상수이기 때문에 그냥 0 입니다 그러므로 이 식 또한 2X 가 됩니다 결론적으로 X 에 대해서 미분했을 때 X^2 에 임의의 상수를 더한 것은 2X 가 됩니다 X 에 대한 X^2 의 도함수는 2X 고 X 에 대한 상수의 도함수는 상수가 X 에 대해서 변하는 것이 아니므로 0 이 되는 것입니다 그러니 이 중 아무 식을 미분해도 2X 가 나옵니다 자 그럼 반대로 역도함수에 대해서 생각해봅시다 역도함수 다시 말하자면 미분을 역연산하는 것입니다 미분의 경우, 어떤 식을 가지고 도함수를 구하는 것입니다 이제는 주어진 식을 가지고 그 식이 무엇의 도함수일지 구하는 것입니다 즉 2X 가 주어질 경우 "2X 가 무엇의 도함수인가?" 라고 주어진다면 이는 결국 역도함수를 구하라는 것입니다 그러면 2X 가 X^2 의 도함수라고 할 수 있습니다 하지만 2X가 X^2+1의 도함수라고도 할 수 있습니다 그리고 X^2+π 의 도함수라고도 할 수 있습니다 대충 이해하실 것 같습니다 이것을 가장 일반적인 식으로 정리한다면 2X 는 X^2 에 임의의 상수를 더한 식의 도함수 라고 쓸 수 있습니다 즉 이 식이 2X 의 역도함수라고 볼 수 있습니다 자 물론 이것도 다 좋지만, 이렇게 문장으로 써야한다면 좀 어설퍼 보입니다 그러니 역도함수를 표현하기 위한 표기를 생각해 봅시다 좀 특이하게 생긴 표기를 사용하는 것으로 정해져 있습니다 이렇게 큰 S 모양의 길쭉한 것에 역도함수를 구하려는 함수 뒤에 dx 를 씁니다 이 경우에는 이와 같이 쓸 수 있습니다 이는 곧 2X 의 역도함수와 같다는 것을 말합니다 그리고 2X 의 역도함수는 아까 보았듯이 X^2+C 입니다 그러면 왜 이렇게 이상하게 생긴 표기를 사용하는지 궁금할지도 모릅니다 그것은 나중에 정적분, 곡선 아래의 면적, 곡선 아래의 면적의 근사값을 구하기 위해 직사각형의 넓이를 구하는 것을 공부할 때 좀 더 명백해 질 것입니다 여기서는 역도함수를 위한 표기로만 아시면 됩니다 그리고 여기의 이 표기, 이 전체 식을 부정적분이라고 합니다 부정적분 2X 의 부정적분은 2X 의 역도함수의 또 다른 명칭인 것입니다