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미적분학의 기본 정리와 누적 함수

동영상 대본

구간 a 와 b 사이에 연속인 f라는 함수가 있다고 가정해봅시다 여기 있는 구간 표시를 보면 a와 b가 포함된다는 것을 알 수 있습니다 우리가 무엇에 대해 배우고 있는지 이해하기 위해 직접 그래프를 그려봅시다 이것이 수직축이고 이것은 수평축입니다 수평축은 t축이라 해서 x는 나중에 사용할 수 있도록 남겨둡시다 이축은 y축이라고 하고요 이렇게 y=f(t)의 그래프를 그려보면 더 작은 값을 가지는 끝점은 a이고 최대경계값은 b입니다 이 점을 포함한다는 것을 더 잘 보여주기 위해 굵은 선으로 표현해봅시다 이렇게 그렸듯이, 최소 경계값은 a, 최대 경계값은 b라고 할 수 있고, 아까 말했듯이 이 점들에서 함수 f는 연속입니다 이제 이 그래프 아래쪽에 위치하는 새로운 함수를 정의해봅시다 a와 구간 내에 있는 어떤 점에 대해서 말입니다 바로 여기에 있는 x를 골라봅시다 곡선 아래에 있는 a와 x사이의 영역을 잡아내기 위해 새로운 함수를 정의해봅시다 두 점 사이, 곡선 아래에 있는 영역을 어떻게 나타낼 수 있을까요? 정적분, 즉 리만 적분을 사용하여 나타내는 거죠 자 지금은, 이 영상의 결론을 내기 전에 일정한 구간 내에서 함수 아래 있는 넓이를 어떻게 표현하는지를 봅시다 바로 여기에 보듯이 우리는 x에서 a까지 f(t)를 정적분한 것입니다 바로 여기에 있는 것은 f(x)이겠죠, x는 a와 b 사이에 있는 값이고요. 여기에 있는 것은 또 다른 함수 f(x)입니다. 그 값은 우리가 x를 어떤 것으로 선택하는가에 따라 달라지겠지요 그러므로 이 모든 것을 x에 대한 함수로 나타내봅시다 대문자 F(x)라고 하겠습니다 의심의 여지 없이 당연히 F(x)는 함수여서 어떤 값 x를 주면 (a와 b 사이) 이것은 소문자 f(t)아래에 있는 a와 b사이 넓이를 구해줄겁니다 가장 멋있는 부분은, 미적분학의 기본정리라는 것입니다 미적분학의 기본정리가 말해주는 것은, (굉장한 것이므로 직접 써볼게요) Fundamental theorem of Calculus이 말해주는 것은 우리가 F함수에서 도함수를 찾아내어 x에 대한 F(x)의 도함수를 구하는 것은 (이것의 도함수랑 같은 것이겠지요) 이 모든 계산의 도함수를 구하는 것과 같은데 같은 것을 복사해서 옮겨볼게요. F라는 것을 이 것들이라고 정의했으니까, 왼쪽 부분의 도함수를 구하는 것은 오른쪽의 도함수를 구했을 때의 값과 같겠지요 미적분학의 기본정리가 우리에게 말해주는 것은 이것의 도함수를 구한 것이 f(x)와 같다는 것입니다 이것이 대단한 것이냐고요? 이것이 얼마나 대단한 것이기에 모든 미적분학의 기초가 되는 정리라고 한 것일까요? 이것이 말하는 것은, 연속하는 어떤 함수 f든지 a와 x 사이에 있는, 정의한 곡선 아래 넓이의 함수 F를 미분한 것이 f일 것이라는 것입니다. 다시 한번 풀어 말해 보겠습니다 모든 연속하는 f는 (antiderivative)부정적분을 가집니다 이것 자체도 정말 멋있는데, 또 다른 부분이 있습니다 지금까지 말한 것과 연관이 되어있는데 우리가 지금까지 했던 것, 정적분은 곡선 아래 있는 넓이 들 중 두 점 사이는 리만이 정의한 적분의 개념이 오는 부분입니다. 우리가 이것과 미분을 연결시켜보자면 만약에 우리가 정적분을 가지고 문제를 푼다면 최소 값과 x 사이에서 정적분을 가지고 생각할 수 있는 방법은 한 가지 뿐입니다. 부정적분을 가지고 풀어야 한다는 것이지요 어떻게 다른 개념들과 연결되는지 알겠죠? 이것이 정적분과 부정적분의 관계를 엮어주기 때문에 미적분학의 기본 정리라고 부르는 이유입니다 미분된 것들을 연결시켜주고 (또는 부정적분들) 적분을 연결시켜줍ㄴ다 바로 전 비디오에서 곡선 아래 있는 넓이들을 적분할 때 보았던 것처럼요 어덯게 미분값들과 연결이 되는지 알겠지요? 그러면 이제 우리는 어떻게 이 미적분학의 기본 원리를 미적분 수업시간에 써먹을 수 있을까요? 직감을 이용해서 이것이 일어나는 이유, 왜 맞는지를 봅시다 그리고 이것은 다음 비디오들에서의 증명에 사용될 지도 모릅니다 그런데 어떻게 이 것을 적용시켜야 하는 것일까요? 예를 들어 어떤 사람이 너에게 도함수를 찾으라고 말했다고 가정해봅시다 어떤 적분, 아무 숫자나 뽑을게요 (ㅠ)파이에서 x까지 상용로그 (t-루트t) 분의 cos(t)의 제곱 을 x에 대하여 미분한 값을 구하고 싶다고 해봅시다. (뒤에 dt를 붙이고요) 그들은 당신에게 이 말도 안되는 것에 대한 도함수를 구하라고 하는 것이지요 이 가로 안에 있는 것들은 f(x)라는 것을 잊지 말아야 해요 값은 x에 따른 값이 나올 것이기에 다른 x 값을 넣으면 다른 값의 결과를 갖게 될 것입니다. 자, x에 대한 도함수는 무엇일까요? 미적분학의 기본 정리는 이것이 매우 간단할 수 있다는 것을 말해줍니다. 우리는 근본적으로, 여기 위에서 패턴을 가지고 해도 되는데, (앞으로의 비디오들에서 직관력을 기르겠지만) 이런 것들 모두 f(t)인데 여기서 보이는 모든 t값을 x로 바꾸면 f(x)가 될 것입니다. 그래서 이것은 사용로그 x-루트 x 분의 코사인x의 제곱과 같을 것입니다 부정적분을 가지고 구하는 범위가 x부터이므로 어떤 함수에 대해 적분을 구하든 t대신에 x에 대한 함수 값이 나올 것입니다 그래서 정말 간단히 정리가 되기도 하는데 도함수를 갖고 다른 시험에서도 보겠지만 정적분을 이용해서 구해야 하는 가끔 좀 복잡해 보이는 속임수 문제들이 나오는데 (도함수를 가지고 하는) 정말 기억해야 할 것은 이 미적분의 기본 정리 뿐입니다. 모든 것을 연결시키는, 미분과 적분의 개념을 엮는 것으로 바로 간단히 할 수 있습니다. f(t) 대신에 f(x)가 될 것이라는 것 말이죠 더 알아듣기 쉽게 말하면, 이 예시를 통해 보면 여기에서는 f(t) 였는데 이것이 f(x)가 된다는 것입니다 바로 여기에 있는 것은 우리의 a 였는데 알아차려야 한는 것은 어디까지 적분을 하든 간에 오른쪽에서는 a에 대한 것이 나오지 않는다는 것이지요 어쨌든 이 것과 다음 비디오들을 즐겨 보았을 것이라고 믿고, 앞으로 미적분학의 기본 원리를 이용한 직관력을 기르기 위한 더 많은 문제들을 풀어봅시다