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정적분으로 정의된 함수들 (누적 함수)

동영상 대본

여러분은 이미 오랫동안 함수에 대해 배워왔습니다 기본적인 개념은 유효한 대입값을 함수에 넣어 그러니까 함수의 정의역의 원소를 넣으면 그 대입값에 대해 해당하는 함숫값이 나오게 됩니다 그리고 해당하는 함숫값을 f(x)라고 합니다 예를 들면 함수를 정의하는 방법은 여러가지입니다 f(x) = x²라고 한다면 이는 모든 x에 대해 대입값이 무엇이든 함숫값은 대입값의 제곱이라는 뜻입니다 이렇게 정의할 수도 있습니다 f(x)는 x가 홀수일 때 x²이고 x가 홀수일 때 x²이고 아니면 x³이라고요 아니면 x³이라고요 홀수인 정수라면 제곱하고 홀수인 정수라면 제곱하고 아니라면 모든 다른 실수는 세제곱합니다 이렇게 함수를 정의하는 것도 유효한 방법입니다 이번 동영상에서는 새로운 방법으로 함수를 정의하는 법을 탐구해 보겠습니다 바로 정적분을 사용하는 것입니다 기본 개념은 똑같습니다 여기 그래프에는 t축이 있고 y축이 있으며 함수 f의 그래프가 있습니다 이걸 y = f(t)의 그래프라고 할 수도 있습니다 이걸 y = f(t)의 그래프라고 할 수도 있습니다 이걸 y = f(t)의 그래프라고 할 수도 있습니다 이걸 y = f(t)의 그래프라고 할 수도 있습니다 이것도 대입값에 대해 함숫값을 표현하는 방법 중 하나입니다 여기에서 t는 1이고 f(t)는 5입니다 t가 4면 f(t)는 3입니다 이제 f(t)의 정적분을 바탕으로 새 함수를 정의해 보겠습니다 이제 f(t)의 정적분을 바탕으로 새 함수를 정의해 보겠습니다 새 함수를 정의해 봅시다 g(x)라고 하겠습니다 g(x)라고 하겠습니다 -2에서 x까지 f(t) dt의 정적분이라고 합시다 -2에서 x까지 f(t) dt의 정적분이라고 합시다 -2에서 x까지 f(t) dt의 정적분이라고 합시다 -2에서 x까지 f(t) dt의 정적분이라고 합시다 -2에서 x까지 f(t) dt의 정적분이라고 합시다 동영상을 멈추고 잘 살펴보세요 굉장히 어려워 보일 수도 있지만 사실은 대입값 x에 대해 g(x)는 그 x에 대한 정적분의 값일 뿐입니다 여기에 표를 만들어 가능한 값들을 생각해 볼 수 있습니다 x와 g(x)라고 합시다 만약 x가 1이면 g(x)는 무엇과 같을까요? g(1)은 -2에서 시작하는 정적분입니다 -2에서 시작하는 정적분입니다 이 경우 x는 1입니다 이 함수에 대입하는 값이죠 따라서 1이 상한이고 f(t) dt의 정적분입니다 이는 얼마일까요? 곡선과 t축 사이의 넓이를 곡선과 t축 사이의 넓이를 -2에서 1까지 계산한 것입니다 이 넓이를 말합니다 이게 격자 위에 있기 때문에 계산이 가능합니다 두 부분으로 나누어 볼게요 이 직사각형 부분은 너비가 3, 높이가 5입니다 따라서 넓이는 15입니다 여기 삼각형 부분은 밑변이 2, 높이가 1입니다 삼각형의 넒이는 2 · 1 · 1/2이고 넓이는 1입니다 이 넓이는 16입니다 만약 x가 2라면 어떨까요? 만약 x가 2라면 어떨까요? 만약 x가 2라면 어떨까요? g(2)는 무엇일까요? 동영상을 멈추고 풀어보세요 g(2)는 -2에서 시작하는 정적분으로 상한은 함수의 대입값인 2이며 f(t) dt의 정적분입니다 이는 여기부터 여기까지입니다 이미 계산한 이 넓이 16과 이미 계산한 이 넓이 16과 이미 계산한 이 넓이 16과 1, 2, 3, 4, 5를 더하면 됩니다 16 + 5는 21입니다 도움이 되었길 바랍니다 여기서 가져갈 것은 정적분으로 유효한 함수를 정의할 수 있다는 것입니다