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주요 내용
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예제: 리만 합의 극한을 정적분으로 다시 쓰기

동영상 대본

리만합이 있고 n이 무한대에 가까워질 때의 극한을 구하고자 합니다 이번 동영상의 목표는 이것을 정적분으로 다시 쓸 수 있는지 알아보는 것입니다 이것을 정적분으로 다시 쓸 수 있는지 알아보는 것입니다 동영상을 멈추고 스스로 풀어보는 걸 추천합니다 정적분이 어떻게 리만합과 연관되어 있는지 기억해 봅시다 정적분이 어떻게 리만합과 연관되어 있는지 기억해 봅시다 a에서 b까지 f(x) dx의 정적분이 있다면 a에서 b까지 f(x) dx의 정적분이 있다면 다른 동영상에서 n이 무한대에 가까워질 때 n이 무한대에 가까워질 때 i가 1에서 n까지의 합의 극한이란 것을 보았습니다 결국 직사각형의 넓이를 여러 개 더하는 것입니다 각 직사각형의 너비는 Δx이고 각 직사각형의 너비는 Δx이고 각 직사각형의 너비는 Δx이고 각 직사각형의 너비는 Δx이고 높이는 Δx 사이에 있는 어떤 함숫값으로 계산합니다 Δx 사이에 있는 어떤 함숫값으로 계산합니다 오른쪽 리만합을 계산한다면 그 직사각형 혹은 부분 구간의 오른쪽 끝을 사용합니다 하한 a에서 시작해서 인덱스에 나와있는 것만큼 Δx를 더합니다 i가 1이라면 Δx를 하나 더합니다 그러면 첫 직사각형의 오른쪽에 해당합니다 i가 2라면 Δx를 두 개 더합니다 Δx에 인덱스를 곱합니다 Δx에 인덱스를 곱합니다 이전부터 보았던 일반적인 형태는 이렇습니다 이전부터 보았던 일반적인 형태는 이렇습니다 한 가지 가능성으로 규칙을 찾아볼 수 있습니다 함수가 자연로그 함수 같은데 이게 f(x)에 해당합니다 자연로그 함수이죠 써 봅시다 f(x) = ln(x)입니다 무엇이 더 보이나요? a는 2에 해당해 보입니다 a = 2입니다 Δx는 무엇일까요? 여기를 보면 여기에 곱해진 것이 n으로 나누기만 하고 i로 곱하지 않습니다 이게 Δx 같아 보입니다 이건 Δx · i 같아 보입니다 Δx = 5/n입니다 지금 알 수 있는 것은 무엇인가요? 여기 위의 이것은 무엇과 같냐면 여기 위의 이것은 무엇과 같냐면 정적분으로 하한은 2임을 알고 상한은 아직 구하지 않았습니다 아직 b를 구하지 않았죠 하지만 함수 ln(x)이고 dx도 적어주겠습니다 이 정적분을 끝마치려면 이 정적분을 끝마치려면 상한을 쓸 수 있어야 합니다 상한을 구하는 방법은 Δx를 보는 것입니다 여기 리만합에서 Δx를 구하는 방법을 보면 여기 리만합에서 Δx를 구하는 방법을 보면 Δx가 한계의 차이를 구간의 개수 n으로 나눈 것이라 할 수 있습니다 한계의 차이를 구간의 개수 n으로 나눈 것이라 할 수 있습니다 따라서 b - a / n입니다 따라서 b - a / n입니다 여기서 규칙을 찾을 수 있습니다 이 Δx가 b - a / n이면 적어 볼게요 이건 b에서 a인 2를 뺀 것이며 이건 b에서 a인 2를 뺀 것이며 이것을 n으로 나눕니다 따라서 b - 2는 5입니다 따라서 b - 2는 5입니다 그러면 b는 7입니다 그러면 b는 7입니다 되었네요 리만합의 극한을 리만합의 극한을 정적분으로 다시 썼습니다 이것이 왜 말이 되는지 강조하고 싶습니다 이것이 왜 말이 되는지 강조하고 싶습니다 이걸 그리면 이럴 것입니다 자연로그를 손으로 그려볼게요 이럴 것입니다 그리고 여기는 1이고요 여기가 2라고 하고 2부터 7까지입니다 이 그림은 정확하지 않습니다 그러면 이 정적분은 2에서 7까지 이 곡선 아래의 넓이입니다 이 리만합은 n이 무한대에 가까워지지 않을 때의 근삿값이라고 볼 수 있고 지금 말하는 것은 i = 1일 때 첫 번째는 너비 5/n에 이게 말하는 것은 2와 7의 차이의 거리 5를 2와 7의 차이의 거리 5를 n개의 직사각형을 나눈다고 하는 것입니다 그래서 처음 이것은 5/n의 너비를 가지고 높이는 무엇일까요? 오른쪽 리만합이니까 여기의 함숫값을 사용합니다 2 + 5/n이라 씁니다 여기 이 값은 ln(2 + 5/n)입니다 ln(2 + 5/n)입니다 이건 첫 직사각형이므로 1을 곱합니다 계속 하면 됩니다 여기 이건 너비는 5/n으로 똑같습니다 높이는 어떤가요? 높이는 바로 여기로 ln(2 + 5/n · 2)입니다 ln(2 + 5/n · 2)입니다 이게 i = 2인 경우이고 이건 i = 1인 경우입니다 이게 이해가 되었으면 좋겠습니다 첫 직사각형의 넓이는 ln(2 + 5/n · 1)에 ln(2 + 5/n · 1)에 5/n를 곱한 것이고 두 번째는 ln(2 + 5/n · 2)에 5/n를 곱한 것입니다 따라서 이것은 직사각형의 넓이들의 합이고 따라서 이것은 직사각형의 넓이들의 합이고 n이 무한대에 가까워질 때의 극한을 구하면 더 나은 근사값을 정확히 참값까지 구할 수 있습니다 더 나은 근사값을 정확히 참값까지 구할 수 있습니다