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정적분을 리만 합의 극한으로 사용하기

동영상 대본

이미 여러 영상에서 다루었습니다만 곡선 밑에 있는 면적을 여러 직사각형으로 나누어 그 면적을 가늠해 보는 시도를 해보았지요 각 직사각형의 면적을 더해 근사치를 찾아냈는데요 이때 각 직사각형은 동일하게 넓었었죠 따라서 a와 b라는 두 경계간의 간격을 동일하게 나누었었죠 이때 각 직사각형의 좌측 상단의 종점은 함수로 측정 되었습니다 이를 일반화하고자 시그마로 표기했는데요 대략 이렇게 생겼습니다 이게 한 예시였구요 그 후 우측 상단 또는 중간 상단에 있는 종점을 직사각형의 높이로 보는 상황도 있었는데요 여기서는 부등변 사각형을 그리기도 했었죠 이 모든 사례들을 리만 합이라고 합니다 이것은 리만 합입니다 대체로 리만 합에 대해 말을 할 때는 더 일반적인 개념으로 접근하게 되는데요 이런 방법을 쓸 필요는 없구요 부등변 사각형을 활용하면 됩니다 일정하게 나눈 부분을 활용할 필요도 없습니다 일정하게 나눈 부분을 사용한 이유는 개념적으로 더 단순하게 설명할 수 있기 때문인데요 이 사진에 있는 사람이 바로 리만 합을 만든 리만입니다 버나드 리만이죠 수학에 지대한 기여를 한 사람이죠 미적분 1년차를 수강하는 사람이라면 리만 합으로 가장 많이 접하게 될텐데요 이전에 리만 적분을 정의하는 방법은 다음과 같았습니다 뉴튼과 라이프니츠 둘 다 미적분을 구상했을 때 적분에 대한 아이디어를 제시했지만 리만 적분이 가장 많이 알려졌다고 볼 수 있습니다 내지는 리만이 적분이 무엇인지 가장 엄격하게 설명했다고 볼 수 있죠 보시다시피, 이것은 리만 합의 한 사례입니다 여기에 n이 있습니다 n값이 더 클수록, 더 가까운 근사치를 얻게 됩니다 그에 따르면 적분 또는 정적분은 또는 곡선 밑에 있는 면적 또는 a와 b 사이에 있는 곡선의 면적으로 정의되는데요 꼭 이 사례 뿐만 아니라 n을 무한대로 늘릴 때에도 리만 합으로 간주할 수 있습니다 정리하면, n이 무한대로 갈 때 무슨 상화이 발생할까요? 또 다른 도표를 그려보지요 이것을 y축이라고 합시다 이것은 x축입니다 함수죠 n이 무한대로 갈수록 a가 여기에, b가 있습니다 이 사이에 정말 많은 직사각형이 생기게 되겠죠 이때 실제 면적에 대한 근사치가 더욱 정교해지겠지요 곡선 밑에 있는 면적은 x 곱하기 dx의 f의 a와 b사이의 적분으로 표기 됩니다 이것이 어디에서 비롯된 것인지 이 같은 표기가 왜 근접한지 확인할 수 있습니다 적어도 제 머릿속에서는 이것들이 어떻게 연결되어 있는지 그려지죠 델타 x는 이 부분들의 넓이입니다 이것이 바로 델타 x입니다 이게 델타 x이고 이것은 또 다른 델타 x이고 이것은 또 다른 델타 x입니다 dx가 무엇인지 또는 미분이 무엇인지 개념을 잡는 방법으로 델타 x가 무엇에 가까워지는지 파악하는 방법이 있습니다 그것이 무한대로 작아진다면요 따라서 이를 개념화할 수 있는데요 너무 어렵게 생각할 필요도 없는 것이 델타 x 를 무한대로 작지만서도 0은 아닌 것으로 생각하면 되거든요 함수 곱하기 델타 x에 약간의 변화를 주었습니다 또한 a에서 b까지 무한대의 수를 더하게 되었죠 이 같은 연결을 한 번 확인해볼 시간을 드리도록 하겠습니다 이것의 명칭을 기억하고 있겠죠? 여기에 있는 이 것만이 리만 합은 아닙니다 사실 이것을 왼쪽 리만 합이라고 합니다 직사각형을 활용한다면 말이죠 오른쪽 리만 합은 어떠냐면요 중간지점을 사용하는 경우입니다 부등변 사각형을 사용하게 되는데요 하지만 n이 무한대로 가까워지면서 리만 합의 한계까지 간다면 리만의 정의에 따라 적분을 얻게 되는 것이죠 이것이 실제로 어떻게 이루어지는 지에 대해서는 아직까지는 검증을 하지 않았는데요 우선은 정의부터 내리기로 하지요 나머지는 다음 영상에서 이어 설명하도록 하지요