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sin(x), cos(x), eˣ의 부정적분

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역도함수를 구하는 몇 가지 예시를 더 들어보고자 합니다 역도함수를 구하는 것에 더 익숙해지기 위해서죠 도함수를 구할 줄 아는 모든 기본적인 함수들에 대해서 말입니다 그 이전에 명확히 해야 할 것이 있습니다 그 기본적인 함수들이 무조건 x에 대한 함수들일 필요는 없다는 것입니다 여기에 t에 대한 함수가 있고 이것의 t에 대한 역도함수를 구하고 있습니다 따라서 여기에 dx를 쓰지 않는 것입니다 그것은 표기법이 아닙니다 정적분에 대해 다룰 때 그 이유를 알게 될 것입니다 그래서 이 함수의 역도함수가 무엇일까요? 이것은 같은 값을 가지게 됩니다 sin t에 대한 역도함수나 부정적분과 cos t에 대한 부정적분이나 역도함수의 합으로 말이죠 이제 이 역도함수들이 무엇인지 알아봅시다 우리는 이미 어느정도 알고 있습니다 삼각함수의 도함수를 구하는 것에 대해서 말이죠 우리는 cos t의 t에 대한 도함수가 -sin t와 같다는 것을 알고 있습니다 따라서 sin t를 얻기 위해서는 -cos t의 도함수를 구하면 되는 것입니다 -cos t의 도함수를 구하면 sin t를 얻게 됩니다 cos t의 t에 대한 도함수는 -sin t 입니다 그리고 음의 부호를 앞에 붙여주면 sin t가 되는 것이죠 따라서 sin t의 역도함수는 -cos t입니다 따라서 이 값이 -cos t와 같아지게 됩니다 그렇다면 cos t의 역도함수는 무엇일까요? 우리는 이미 알고 있습니다 sin t의 t에 대한 도함수가 cos t라는 것을 말이죠 따라서 cos t의 역도함수는 sin t가 되고 따라서 이 값을 더해주면 모든 과정이 끝난 것입니다 역도함수를 구한 것이죠 이제 이 문제로 넘어가도록 하죠 이번에는 t에 대한 함수가 아닙니다 우리는 이제 이 변수에 대한 함수의 부정적분을 구할 것입니다 사실 이것은 실수입니다 a에 대한 역도함수를 구해야 하죠 이 값을 지우고 da로 정정하도록 하겠습니다 만약 t에 대한 역도함수를 구하고자 한다면 이 앞의 모든 값들이 상수 취급되어야 합니다 하지만 여러분은 혼란에 빠뜨리고 싶지 않으므로 명확히 하도록 하겠습니다 이 자리에는 da가 들어가야 합니다 a에 대하여 우리가 적분하거나 역도함수를 구하는 것이죠 그렇다면 이 값은 무엇이 될까요? 마찬가지로 이것은 적분 값들의 합으로 다시 나타낼 수 있습니다 e의 a제곱에 대한 부정적분과 여기 있는 이 값이 되는 것이죠 1/a의 부정적분 또는 역도함수를 더하면 되는 것이죠 그렇다면 e의 a 제곱의 역도함수가 무엇일까요? 우리는 이미 지수함수에 대해 어느 정도 알고 있습니다 e의 x제곱의 x에 대한 도함수는 e의 x제곱과 같아지게 됩니다 이것은 지수함수에 있어서의 e가 일반적으로 너무나도 놀라운 이유 중 하나이기도 하죠 그리고 a를 x로 또는 x를 a로 대체하면 e의 a제곱의 a에 대한 도함수가 e의 a제곱과 같다는 것을 알 수 있습니다 따라서 e의 a제곱과 이의 도함수가 같으므로 이의 역도함수 또한 e의 a제곱이 되는데 여기에 임의의 상수값이 더해질 수 있습니다 따라서 위의 문제에서도 상수항을 더하는 것을 잊지 말아야 합니다 상수항이 존재할 수 있습니다 상수항을 기억하는 것은 언제나 중요합니다 여기에 상수항이 존재할 수 있다는 것을 절대 잊지 마세요 다시 한번 되짚어보자면 e의 a제곱의 역도함수가 무엇이었나요? 바로 e의 a제곱입니다 1/a의 역도함수는 무엇인가요? 이것은 지난 시간에 다룬 내용입니다 이는 a의 절댓값에 자연로그를 취한 값이 될 것입니다 가장 일반적인 형태의 역도함수를 구하고자 하는 것이기 때문에 여기에도 마찬가지로 상수항을 더해야 합니다 그러면 모든 과정이 끝난 것입니다 이와 같이 표현된 두 함수에 대한 역도함수를 구해냈습니다