유리함수의 정적분

(16 - x³)/x³ dx를 -1부터 -2까지 정적분을 하려고 합니다 처음 봤을 때 부담스러워 보입니다 유리식이 있는데 분자에 x가 있고 분모에도 x가 있습니다 대수적인 조작을 해야 한다는 것을 기억하길 바랍니다 이 식은 더 매력적으로 보이네요 이 식은 다음과 같습니다 -1에서 -2까지의 적분이고 식은 16/x³ - x³/x³ dx 입니다 식은 16/x³ - x³/x³ dx 입니다 식은 16/x³ - x³/x³ dx 입니다 식은 16/x³ - x³/x³ dx 입니다 계산하면 어떻게 될까요? -1에서 -2까지의 적분이고 -1에서 -2까지의 적분이고 첫 번째 항부터 적겠습니다 다른 색으로 하죠 이 식을 16x^(-3)으로 나타낼 수 있습니다 이 식을 16x^(-3)으로 나타낼 수 있습니다 그리고 두 번째 식은 -x³/x³ 인데 x³/x³ = 1 이므로 x³/x³ = 1 이므로 x³/x³ = 1 이므로 -1이 됩니다 dx를 붙여줍니다 그러면 어떻게 될까요? 각 항을 부정적분한 뒤에 각자 다른 범위에서 계산하면 됩니다 각자 다른 범위에서 계산하면 됩니다 봅시다 16x^(-3)의 부정적분은 도함수의 거듭제곱 규칙을 역으로 이용합니다 이것을 적분의 거듭제곱 규칙으로 혹은 부정적분에 취하는 거듭제곱 규칙으로 볼 수 있습니다 우리가 할 것은 지수를 1만큼 증가시키는 것입니다 -3에서 -2가 됩니다 그 다음 그 값으로 나누어줍니다 -2로 말이죠 따라서 16/-2 x^(-2)이 됩니다 따라서 16/-2 x^(-2)이 됩니다 지수값을 증가시키고 그 값만큼 나누어 주었습니다 지수값을 증가시키고 그 값만큼 나누어 주었습니다 따라서 이것이 부정적분입니다 16 / -2 = -8 입니다 16 / -2 = -8 입니다 따라서 -8x^(-2) 입니다 -1의 부정적분은 -x 입니다 -x 입니다 여러분도 알다시피 -x의 도함수를 구하면 -1이 되는데 -x의 도함수를 구하면 -1이 되는데 이것을 -x^(0)으로 보면 1과 같으므로 같은 것입니다 지수를 1만큼 증가시켜 x¹이 되고 1로 나누면 이렇게 하면 되는데 어떻게 하던지 -x가 나옵니다 이것을 계산합니다 범위 내에서 계산합니다 그 다음 차이를 구하면 되겠죠 -2를 대입하여 구한 값에서 -1을 대입하여 구한 값을 빼면 됩니다 다른 두 색을 이용하여 어떻게 되는지 살펴보죠 -2에 대하여 계산하고 -1에 대하여 계산합니다 먼저 -2에 대하여 계산해 봅시다 다음과 같습니다 다음과 같습니다 -2에 대하여 계산하면 -8 곱하기 x^(-2)이므로 (-2)^(-2) 이고 -2를 빼줍니다 여기서 -1에 대한 계산값을 빼줍니다 여기서 -1에 대한 계산값을 빼줍니다 -8(-1)^(-2) - (-1) -8(-1)^(-2) - (-1) 좋습니다 어떻게 될까요? (-2)^(-2)은 (-2)^(-2)은 1/(-2)²과 같으므로 1/4이 됩니다 따라서 이것은 +1/4입니다 그러나 -8과 1/4을 곱하면 -2가 됩니다 -2 - (-2) 이므로 -2 + 2 가 되어 보라색으로 나타낸 이 식들은 0이 됩니다 주황색 식을 살펴보면 -1에 대한 계산값을 확인해 봅시다 (-1)^(-2)은 1/(-1)²이므로 1이 됩니다 따라서 -8 + 1이 됩니다 즉 -7이죠 따라서 계산한 결과 -7이 되고 -7을 빼면 대망의 그 결과는 대망의 그 결과는 +7이 됩니다 +는 생략해도 됩니다 +는 생략해도 됩니다 +7이라는 것을 강조하기 위해 나타낸 것입니다 +7이라는 것을 강조하기 위해 나타낸 것입니다