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주요 내용

부분적으로 정의된 함수의 정적분 구하기

함수의 두 가지 경우를 지나는 구간에서 부분적으로 정의된 함수의 정적분을 구합니다.

동영상 대본

여기에 x에 대한 함수 f가 있는데 x < 0 일때는 f(x) = x + 1로 정의되어 있고 x >= 0일때는 f(x) = cos(πx)로 정의되어 있습니다 정적분의 값을 계산하려고 하는데 -1부터 1까지 f(x) dx의 값을 구하려고 합니다 바로 말할 수 있듯이 역도함수를 구하기 위해 어떤 f(x)를 선택할지 결정하지 못 할 수 있습니다 역도함수를 구하기 위해 어떤 f(x)를 선택할지 결정하지 못 할 수 있습니다 -1부터 0까지는 x + 1로 생각하야 하고 0부터 1까지는 cos(πx)로 생각해야 하기 때문입니다 그렇게 생각하신다면 알맞게 생각하시고 계신 것입니다 이 문제를 조금 더 간단하게 만들수 있는 방법은 이 정적분을 나누는 것입니다 우리가 구하려는 식은 -1부터 0까지의 f(x) dx와 -1부터 0까지의 f(x) dx와 0부터 1까지의 f(x) dx를 0부터 1까지의 f(x) dx를 더한 것과 같습니다 이렇게 나누는 것이 왜 유용할까요 특히 -1부터 1까지의 적분을 특히 -1부터 1까지의 적분을 -1부터 0까지 그리고 0부터 1까지 2개의 간격으로 나누는 것 말입니다 -1부터 0까지 그리고 0부터 1까지 2개의 간격으로 나누는 것 말입니다 그 이유는 x = 0일때 f(x)가 x + 1에서 cos(πx)로 바뀌기 때문입니다 f(x)가 x + 1에서 cos(πx)로 바뀌기 때문입니다 f(x)가 x + 1에서 cos(πx)로 바뀌기 때문입니다 x가 -1부터 0까지일때의 상황을 보면 f(x) = x + 1입니다 따라서 x가 -1부터 0까지는 f(x) = x + 1이 됩니다 x가 0부터 1까지일때의 상황을 보면 f(x) = cos(πx)입니다 따라서 x가 0부터 1까지는 f(x) = cos(πx)가 됩니다 이제 우리는 이 각각의 값들을 구하고 더해주기만 하면 됩니다 x가 -1부터 0까지일때 (x + 1)dx의 정적분을 구해봅시다 x가 -1부터 0까지일때 (x + 1)dx의 정적분을 구해봅시다 그럼 한번 봅시다 x + 1의 역도함수를 구해봅시다 x의 역도함수는 x²/2입니다 그냥 지수를 증가시키고 그 값으로 나누는 것 뿐입니다 그리고 x를 더합니다 똑같은 일을 하고 있는 것이라고 생각할 수 있습니다 x^0이니까 x¹이 될 것이고 x¹/1이 되니 그냥 x가 됩니다 x¹/1이 되니 그냥 x가 됩니다 x가 0일 때의 이 식의 값에서 x가 1일 때의 이 식의 값을 뺄 것입니다 죄송합니다 x가 -1일때의 식의 값을 뺄 것입니다 이 식의 값을 구해보자면 x가 0일 때의 값을 구할 것인데 다른 색으로 하도록 하겠습니다 x가 0일 때의 값을 구하면 0²/2가 될 것인데 적으면서 설명하도록 하겠습니다 0²/2 + 0이 될 것입니다 결국 그 식의 값은 0이 되겠지요 x가 -1일때의 값을 구해 봅시다 방금 그 값에서 지금 구할 값을 뺄 것입니다 이번에 구할 식의 값은 (-1)²/2 + (-1)이 될 것입니다 (-1)² = 1이니까 1/2 + (-1)이 될 것입니다 1/2 + (-1)은 1/2 - 1이라고도 할 수 있고 -1/2라고도 할 수 있습니다 그래서 그 식의 값은 -1/2이 됩니다 하지만 우리는 -1/2를 뺄 것이기 때문에 0 - (-1/2)는 1/2이 될 것이니 결국 큰 식의 값은 1/2이 됩니다 따라서 첫 번째 파트의 값은 1/2이 될 것입니다 이제는 0부터 1까지의 cos(πx)의 정적분을 구해봅시다 첫번째 괄호가 필요 없군요 cos(πx)dx이 무엇이랑 같을까요 cos(πx)dx이 무엇이랑 같을까요 지금 우리가 cos(x)의 역도함수를 구하려고 했으면 간단했을 것인데 sin(x)의 x에 대한 도함수가 sin(x)의 x에 대한 도함수가 cos(x)와 같기 때문입니다 하지만 지금 우리가 볼 식은 cos(πx)입니다 이럴때 쓰는 방식이 있는데 이 방식을 치환 적분이라고 합니다 πx를 u로 치환할 수 있습니다 그 방법을 어떻게 떠올리는지 잘 모르겠다면 이렇게 생각해 볼 수 있습니다 sin(πx)와 관련이 있기 때문에 sin(πx)와 관련이 있기 때문에 sin(πx)의 x에 대한 도함수는 sin(πx)의 x에 대한 도함수는 무엇이 될까요 연쇄법칙을 사용하면 됩니다 안에 있는 함수에 대한 바깥에 있는 함수의 도함수는 즉 πx에 대한 sin(πx)의 도함수는 cos(πx)에 x에 대한 안에 있는 함수의 도함수를 곱하는 것이고 x에 대한 안에 있는 함수의 도함수를 곱하는 것이고 π를 곱하게 됩니다 sin(πx)의 도함수는 πcos(πx)입니다 여기에 그 식과 비슷한 값이 있는데 π만 있으면 똑같게 만들 수 있습니다 똑같게 만드려고 π를 곱해주려면 값이 달라지지 말아야 하기 때문에 1/π를 곱하면 어떨까요 어떤 값을 곱하고 똑같은 값으로 나누면 결과적으로 값을 바꾸는 것이 아니기 때문입니다 1/π 곱하기 π는 결국 1이 됩니다 이 방법은 굉장히 유용한데 πcos(πx)가 sin(πx)의 도함수이기 때문입니다 πcos(πx)가 sin(πx)의 도함수이기 때문입니다 이 값은 결과적으로 마지막에 1/π을 곱하면 됩니다 마지막에 1/π을 곱하면 됩니다 마지막에 1/π을 곱하면 됩니다 마지막에 1/π을 곱하면 됩니다 이제 곱하게 되는 값을 구해봅시다 여기 있는 함수의 역도함수가 sin(πx)인데 정적분 값을 0부터 1까지 구할 것입니다 이 전체 값은 1/π 1/π지 π가 아니군요 제 손이 제 말을 잘 안 듣네요 1/π * (sin(π) - sin(0))이 될 것인데 1/π * (sin(π) - sin(0))이 될 것인데 sin(π)는 0이고 sin(0)도 0입니다 결과적으로 그 값은 1/π * (0 - 0)이 되므로 결과적으로 그 값은 1/π * (0 - 0)이 되므로 계산하면 0이 될 것입니다 첫번째 부분은 1/2이고 두번째 부분은 0이므로 전체 정적분 값은 1/2 + 0이어서 1/2이 됩니다 결과적으로 우리가 구하려는 값은 1/2이 됩니다