삼각함수의 정적분

우리 함께 11/2π에서 6π까지 9sinx의 정적분의 값을 구해봅시다 먼저 sinx의 원시함수를 구해봅시다 우선 적분의 성질을 이용해서 주어진 식을 간단히 할 수 있습니다 이 식은 9배의 11π/2에서 6π까지 ∫sinxdx와 같습니다 sinx의 원시함수는 무엇인가요? 우리는 도함수들로부터 cosx의 도함수가 (-sinx)임을 알고 있습니다 (-sinx)요 그러면 우리가 어떻게 해야 적분 안의 식이 (-sinx)가 되도록 할 수 있을까요 적분 안에 상수를 곱하면요 적분 안에 (-1)을 곱하면요 그러나 한 곳에만 (-1)을 곱할 순 없으니 곱하려면 식의 값이 바뀌지 않도록 (-1)을 두번 곱해야 해요 그럼 만일 (-9)곱하기 (-sinx)라면 전체 식의 값은 여전히 9sinx죠 (-9)곱하기 (-sinx)로 생각하면 원래 9sinx를 (-9)와 (-sinx)의 곱의 형태로 바꾸었어요 왜냐하면 이제 (-sinx)가 cosx의 도함수와 일치하기 때문이죠 그러니 우리는 이 모든값이 모든 값이 맨 앞에 (-9), (-9)배 대괄호안에 넣을게요 (-9)배, (-sinx)의 원시함수 그냥 cosx와 같죠 cosx 이와 같습니다 그리고 이 범위 내에서 식의 값을 구하게 될겁니다 6π에서 먼저 구합시다 아직 사용하지 않은 색깔로 하겠습니다 우리는 이것을 6π 에서 계산하고 11π/2에 대해서도 계산할 거에요 11π/2, 이것은 이것은 (-9)배를 한 것과 같습니다 이쪽에 새로운 공간을 만들게요 제가 필요한것 보다 좀 공간이 크네요 cos(6π) 가 될겁니다 cos(6π) -cos(11π/2) cos(11π/2) cos(6π)의 값은 어떻게 될까요 2π에 정수를 곱한 어떤 수의 cos의 값도 1이 됩니다 6π를 이렇게 볼 수 있어요 단위 원 상에서 세 바퀴를 도는 거에요 그 값은 그러면 cos(2π)와 같겠죠 또는 cos(0)과 같죠 그래서 그 값은 1이 될겁니다 이것이 안익숙하다면 코사인의 단위원을 복습하시는 것을 추천합니다 그럼 cos(11pi/2)의 값은 무엇일까요 자 몇 가지를 빼 봅시다 여기에 2π 만큼을 빼보겠습니다 우리가 계산하기 쉬운 값들로 만들기 위해서요 여기다가 적을게요 cos(11π/2) 이것은 다음과 같습니다 보자, 수를 빼버린다면 이것은 11π/2 와 이것은 5와 1/2π와 같습니다, 맞나요? 그렇죠, 우리는 그럼 4π를 한 번 빼 봅시다 그 결과는, 우리는 8π/2로 쓸 수 있어요 그냥 5π를 빼버립시다 아니다 그냥 4π를 뺍시다 8π/2와 같지요 다시한번 그냥 2π의 몇 배를 뺄겁니다 그건 cos 값을 변화시키지 않을거에요, 그러니 이 값은 cos(3π/2)와 같습니다 단위원을 상상해보면 단위원을 이곳에 그릴게요 y축, x축, 그리고 단위원이 있어요, 이런 단위원이 이렇게 있습니다 시작하게 되면, 이점이 0입니다 π/2로 가고 다음 π로 가고, 또 다음은 3π/2로 가고 그러니 단위원에서의 이 점이군요 코사인은 x좌표 값이니깐 이 값은 0이 될거에요 이 값이 0이 됩니다 그래서 우리는 1-0을 얻게 됩니다 대괄호 안의 모든 것들이 한 값으로 계산되었습니다 이 모든 것의 계산값이 1입니다 그럼 (-9)의 1배라는 값이 남게 되고요 당연히 그냥 (-9)가 주어진 정적분의 값이 될 겁니다