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주요 내용

절댓값 함수의 정적분 구하기

-4와 0 사이의 f(x)=|x+2|의 정적분 값을 구합니다.

동영상 대본

f(x)=|x+2|라는 함수가 있습니다 -4부터 2까지의 f(x)의 정적분을 구하고 싶습니다 이제 영상을 잠시 멈추고 문제를 한번 풀어보시길 바랍니다 만약 처음 해보시는 것이라면 절댓값이 있는 함수의 원시함수를 구하는 것이 조금 어려울 수 있습니다 문제를 푸는 해법은 절댓값 기호 없이 f(x)를 표현하는 것인데 x값의 범위를 나누면 그렇게 할 수 있습니다 절댓값 안에 있는 값이 양수일 때와 음수일 때로 범위를 나누어서 생각해 보는 방식으로 문제를 해결할 것입니다 부호가 바뀌는 지점은 x+2=0일 때 즉 x=-2일 때입니다. 이제는 x의 범위가 x<-2일 때와 x≥-2 일때로 나누어봅시다 그리고 이 함수는 연속함수이기 때문에 x<-2가 아니라 x≤-2라고 해도 무방합니다 절댓값 기호 안의 값이 어찌되었든 0이 되어 부호는 상관없기 때문이죠 이제 두 가지 경우 중 더 쉬운 것을 해봅시다 x≥-2일때 x+2는 양수이거나 0과 크거나 같기 때문에 절댓값은 똑같이 x+2가 됩니다 즉 x≥-2일때 x+2가 됩니다 x<-2일때는 어떻게 될까요 x<-2일때는 x+2는 음수가 됩니다 음수의 절댓값을 구하면 부호가 반대로 되죠 따라서 값은 -(x+2)가 됩니다 이 부분이 이 영상의 가장 어려운 부분이기도 하고 미적분보다는 대수의 성격이 강한 부분이기 때문에 이해를 돕기 위해 절댓값의 함수의 그래프를 그려보겠습니다 x축과 y축을 그리고 x=-2 라는 지점을 생각해 봅시다 -2보다 작은 값을 대입할 때 즉 x<-2일 때 그래프는 이러한 모양을 보이게 됩니다 이러한 모양을 보이게 됩니다 이러한 모양을 보이게 됩니다 x≥-2일때는 다른 색으로 그리겠습니다 x≥-2일때는 이러한 모양을 보이게 됩니다 파란색 그래프는 함수 y=x+2의 그래프와 같습니다 함수 y=x+2의 그래프와 같습니다 붉은색 그래프는 함수 y=-x-2의 그래프와 같습니다 음의 기울기를 가지고 있고 y절편은 -2입니다 그렇습니다 이제 문제를 해결하는 방법은 여러 가지인데요 두 부분으로 분리하여 생각해 볼 수 있습니다 첫 번째 부분은 f(x)의 -4부터 -2까지의 정적분으로 계산할 수 있습니다 f()x는 이 경우에 -x-2겠죠 위에 있는 마이너스를 분배 한 것입니다 두 번째 부분은 f(x)의 -2부터 0까지의 정적분으로 계산할 수 있습니다 첫 번쨰 정적분은 이 지점이 -4이고 이 지점은 0일떄 제가 지금 칠하는 부분의 넓이를 의미합니다 y=-x-2의 그래프와 x축 사이의 부분의 넓이이죠 두 번째 정적분은 -2에서부터 0까지의 y=x+2의 그래프와 x축 사이의 부분의 넓이입니다 이제 이 두 정적분을 각각 계산해봅시다 삼각형의 넓이를 더하여 구하는 것도 가능하겠지만 대수로 접근해봅시다 -x의 원시함수는 무엇일까요 -x²/2입니다 -2의 원시함수는 -2x이고요 원시함수를 구했으니 -4부터 -2까지의 정적분을 구할 것입니다 대입을 해보자면 -2를 함수에 대입하면 -x²은 -(-2)²가 됩니다 따라서 구하려는 값은 -4/2 - 2×(-2) 즉 4가 됩니다 -2에서의 값은 4입니다 "-4를 함수에 대입할 때 그 값을 빼야 하므로 마이너스를 붙입니다" 대입해 보면-(-4)²/2=-16/2와 (-2)×(-4)=8이 나옵니다. 따라서 -16/2+8이 되는 거죠 이제 전부 계산해 봅시다 -4/2는 2와 같고 -16/2는 -8과 같으므로 두번째 괄호 안은 0이 됩니다 제가 맞게 계산했나요 16/2는 8이고 마이너스 부호가 붙었으니 그냥 0이 되는 것이 맞네요 이 부분은 -2+4이므로 2입니다 따라서 붉은색으로 표시한 부분은 2가 됩니다 이제 청색으로 표시한 부분을 계산해 봅시다 x+2의 원시함수는 x²/2+2x이고 -2부터 0까지의 정적분을 구하면 0에서의 값은 0이 되고 이제 -2에서의 값을 뺄 것입니다 (-2)²/2는 4/2가 되고 최종적으로 2가 됩니다 그 다음은 2×(-2)를 계산하면 -4가 됩니다. 2-4=-2이고 -2를 빼야 하므로 최종적으로는 2+2가 됩니다 생각을 해보면 붉은색으로 표시된 부분이 2이고 청색도 그와 같으므로 대칭성을 찾아볼 수 있습니다 둘을 더하면 구하려는 정적분의 값은 4가 됩니다 검토를 해보자면 이 삼각형의 높이는 2이고 밑변도 2이므로 넓이를 구하면 ½×2×2=2입니다 이 삼각형도 넓이가 2입니다 이렇게 삼각형의 넓이로 구하는 것이 정적분을 기하학적으로 해석하는 법입니다 최종 결과는 4로 같습니다 커넥트 번역 봉사단 | 허경준