수평선에(x축이 아닌) 대해 회전한 워셔법 2부

저번 비디오에서 이 수치를 구하기 위한 정적분에서 끝이 났었죠 그럼 이제 이걸 계산해봅시다 그리고 가장 어려운 부분은 이 값과 이 값을 간단히 하는 것이 될 것입니다 한 번 시작해 보죠 이 제곱 된 값은 무엇일까요? 여기서는 우리가 다항식의 곱셈을 해야합니다 이것을 같은 색으로 써볼게요 (4-x^2 +2x) 음, 항이나 항의 차수에 따라 다른 순서로 다시 써 볼게요 -x^2 + 2x +4 그냥 이것들의 순서를 바꾼거에요 곱하기 -x^2 + 2x +4 그럼 이제 이 두개를 곱해볼게요 곱하기 기호가 x처럼 보이니 쓰지 말아야겠어요 그럼 4곱하기 4는 16이고 4곱하기 2x는 8x에요 4곱하기 -x^2은 -4x^2이죠 2x 곱하기 4는 8x 2x 곱하기 2x는 4x^2이에요 그리고 2x곱하기 -x^2은 -2x^3이죠 그럼 이 모든것에 이제 -x를 곱해줘야 해요 -x^2 -x^2 곱하기 4는 4x^2이죠 -x^2 곱하기 2x 는 -2x^3이에요 그리고 -x 곱하기 x^2 곱하기 -x^2는 x^4이죠 이것은 x의 네제곱이에요 그럼 이제 이 모든 항을 더해야해요 그럼... x^4 더하기 이 두개를 더한 -4x^3 그리고 이것은 이것과 상쇄되지만 여전히 이것이 남으므로 -4x^2이 되죠 여기 이 두 항을 더하면 16x가 되요 그리고 +16 이렇게 전개를 다 해봤어요 이제 (4-x)^2을 해야 하죠 이것은 (4-x)곱하기 (4-x) 이것도 같은 방법으로 하면 되죠 이건 4곱하기 4해서 16으로 +16이 되고 4곱하기 (-x)는 (-4x)가 되요 (-4)곱하기 x는 또다른 (-4x)이고 (-x)곱하기 (-x)는 x^2과 같죠 이 항들의 순서를 바꾸면 x^2 - 8x + 16 이제 이것을 빼줘야 하죠 여기 마이너스 부호가 있으니까 이것들을 빼주면 되는데요 여기서 그것을 해보도록 해요 여기 이미 다 써있으니까요 이것을 빼볼게요 이것을 빼거나 그냥 이것에 마이너스 부호를 붙여도 돼요 마이너스 부호를 붙이면 (-x)^2 + 8x -16 여기에 마이너스 부호를 붙인 거에요 그럼 이걸 새로운 색으로 써볼게요 x^4 - 4x^3 5x^2 + 24x 그리고 이것을은 상쇄돼죠 그럼 이것들만 남았어요 이것이 인테그랄 안에 들어갈 수에요 그럼 이것을 정적분 해볼게요 다시 쓸 필요는 없겠네요 0에서 1까지, 만약 제가 옳게 기억한다면요 어, 0부터 3까지네요 그리고 이것에 dx 그리고 이 앞에 파이가 있죠 이걸 정적분 안으로 넣어 볼게요 곱하기 파이 그럼 이걸 부정적분 해볼게요 이것은 파이 곱하기 x^4를 부정적분한 5분의 x^5와 같고 4x^3의 부정적분은 x^4와 같아요 그리고 이것은 -x^4와 같죠 여러분은 이걸 여기서 4와 x가 있고 이것을 차수를 낮추면 4x^3 인것을 통해 알 수 있죠 그럼 맞다는 걸 확인할 수 있어요 그리고 이것을 부정적분하면 3분의 5x^3이죠 그냥 차수를 올리고 그것으로 나누세요 그럼 2분의 24x^2 또는 12x^2가 되죠 이제 이걸 계산할 거에요 저는 둥근괄호의 시작과 끝을 \ 같은 색깔로 맞추는걸 좋아해요 이제 이걸 계산 할 건데 그 전에 이걸 괄호로 나눌게요 이걸 0에서 3까지 정적분 할 거에요 그럼 이것은 파이를 곱한 것과 같아지는데 이 모든 식을 3을 대입해 계산해볼게요 3을 x^5에 대입하면 3의 세제곱은 27이죠 3의 네제곱은 81이고 3의 5제곱은 이것 곱하기 3이므로 243이 되겠네요 이건 243이고 약간 복잡한 계산이 되겠지만, (-5)분의 243이 되겠죠 3의 4제곱은 81이죠 즉, -81 마이너스, 음, 우린 3을 세제곱해야해요 그럼 이건 5분의 3 곱하기 3의 세제곱이 되요 그러니 27을 곱해줘야죠 27은 3으로 나누면 9에요 그러니 9곱하기 5는 45죠 이걸 간단히 합시다 즉, 이건 45와 같아지죠 제가 맞게한 것 맞죠? 네, 맞네요 이것은 3의 세제곱 곱하기 5가 돼요 왜냐하면, 이것을 3으로 나누었기 때문이죠 그럼 이것은 45가 되겠네요 그리고 마지막으로, 3의 제곱은 9 9곱하기 12는 108 그러니 +108 이런 복잡한 계산의 문제들은 좀 머리가 지끈거리네요 하지만 너무 스트레스 받지 않도록 노력해 볼게요 그리고 이젠 0을 대입한 값을 이 전체 값에서 빼야 하지만, 다행히도 이 과정은 꽤 간단하네요 계산한 값은, 0, 0, 0, 0, 0 그래서 0을 빼주면 되는데 이것은 문제를 조금 더 수월하게 만들어 주죠 그리고 여기 조금 복잡한 계산이 하나 더 남았네요 해보죠 제일 먼저 할 것은 이 모든 부분들을 다 간단히 하는 거에요 걱정되는건 여기 분모에 5가 있다는 거에요 그럼 다른 항들을 보죠 -81과 -45가 있네요 이 두 항은 -126이 되요 그리고 -126더하기 108을 하면 이것은 -26이 되겠죠 +8을 하면 -18이 되겠고요 그래서 이 전체 값이 -18로 간단해 집니다 제가 맞게 했죠? 이 값이 - 126이고 그리고 이 -126은 -18이 되죠 그럼 -5분의 18이라고 쓸 수 있겠네요 -5분의 18은 마이너스 5곱하기 10은 50이고 더하기 40을 해요 즉, 이것은 -5분의 90이 되네요 그럼 이 전체 값들이 파이 곱하기 5분의 243빼기 -5분의 90 곱하기 파이로 간단하게 되었네요 지금 드럼을 쳐도 되겠네요 이것은 다소 복잡한 계산이었어요 243-90은 5분의 153이 되겠네요 또는 이것을 5분의 153파이라고도 쓸 수 있죠 그리고 이 모든 것을 한 뒤에 여러분은 가끔 가끔 우리가 처음에 하려던게 무엇인지를 까먹곤 해요 우리는 여기 바로 이 값을 구하고 있었어요 이 안쪽에 있는 것의 넓이를 구하고 있었죠