워셔법 일반화하기

그럼 저번 동영상에서 했던 것을 일반화 해봅시다 그럼 저번 동영상에서 했던 것을 일반화 해봅시다 이 선이 y축입니다 이건 조금 삐뚤죠 여기 이 선이 x축 입니다 이제 두 가지 함수가 있다고 해봅시다 일반적인 경우로 이야기해보겠습니다 여기에 함수 하나가 있습니다 개형은 이렇게 생겼구요 이게 첫 번째 함수입니다 y=f(x) 꼴이죠 그리고 여기에 y=g(x)꼴의 함수가 있습니다 개형은 이렇다고 하죠 여기 파란색으로 표현된 것이 y=g(x)입니다 그리고 저번 영상에서 했던 것과 같이 회전체의 부피에 대해 생각해봅시다 회전체는 회전을 시켜서 얻을 수 있는데 이 두 함수 사이의 영역을 x축 중심으로 회전시킬 때의 부피를 알아볼 겁니다 우리는 매우 일반적인 경우를 말하고 있습니다 이건 무슨 형태라도 될 수 있겠지만 지금 상황에서는 말그대로 버섯 머리 모양이 되겠죠 버섯 머리와 매우 비슷한 모양이 되겠죠 밖에서 봤을 때 그렇겠죠 밖에서 보면 회전체는 버섯 모양일거고 안 쪽은 원추형으로 깎여있을겁니다 당연하게도 이런 형태는 매우 특수한 겁니다 제가 그린 함수에만 적용되니까요 그러나 우리의 목적은 수학적으로 이를 일반화하는 것입니다 그렇다면 이떻게 부피를 찾을 수 있을까요? 원판을 생각해볼 수도 있습니다 하지만 그 대신 와셔 모양(가운데가 뚫린 원판)을 생각해봅시다 이 방법은 본질적으로 우리가 저번 영상에서 수학적으로 한 것과 같은데 개념화 하는 방법이 약간 다를 뿐입니다 이제 두 함수 사이에 있는 작은 영역을 취합니다 이렇게요 이 영역의 너비가 어떻게 될까요? dx가 되겠죠 그리고 이것을 x축을 중심으로 회전시켜봅니다 x축을 중심으로 회전시켜보면 결국 와셔 모양이 되죠 그래서 이 방법을 와셔법이라고 합니다 이 방법은 디스크법의 일종인데 안 쪽이 도려내진 디스크법인거죠 그러니까 이게 와셔의 내부고 이게 와셔의 바깥쪽 부분이 되는 겁니다 와셔의 바깥쪽 부분은 이렇게 생겼겠죠 이해가 되셨으면 좋겠네요 그리고 와셔의 표면은 이런 모양일겁니다 제가 더 잘 그릴 수 있다면 좋겠지만 이 그림이 여러분이 이해하는데에 도움이 되었으면 좋겠네요 어쨌든 와셔의 표면은 이런 모양일겁니다 폭은 dx가 되겠죠 폭은 dx가 되겠죠 제가 얼마나 잘 그릴 수 있나 봅시다 여기가 폭 dx 입니다 이게 와셔의 측면이구요 와셔를 가운데가 도려내진 동전으로 생각하셔도 되겠네요 그럼 부피는 어떻게 구할까요? 다시 한 번 말하지만 우리가 표면을 안다면 와셔 표면 넓이를 안다면 그냥 폭만큼 곱하면 됩니다 이게 와셔 표면의 넓이가 될텐데요 와셔 표면의 넓이는 일단 가운데를 도려내지 않았을 때의 넓이를 구해봅시다 넓이가 어떻게 되죠? 전반적으로 바깥쪽 반지름의 제곱에 π배가 될겁니다 π*(바깥쪽 반지름)² 이 되겠죠 그런데 바깥쪽 반지름이 뭘까요? 와셔 바깥쪽으로 항하는 반지름 말이예요 바깥쪽 반지름은 f(x)와 같습니다 그러니까 바깥쪽 반지름은 f(x)라 할 수 있죠 그리고 우리는 그냥 이걸 제곱할겁니다 그러니까 여기 이 식은 전체 면적의 넓이를 의미합니다 와셔가 아닌 꽉 찬 동전의 면적 말이죠 이제 내부 면적을 제거해야 합니다 내부 면적은 뭘까요? 내부 면적은 뭘까요? 내부 면적이란 여기를 말합니다 우리는 이 면적을 뺄겁니다 이 면적은 π*(안쪽 반지름)²입니다 이 면적은 π*(안쪽 반지름)²입니다 그럼 (안쪽 반지름)²은 뭘까요? 이 경우에 안쪽 반지름은 g(x)가 됩니다 안쪽 면적은 π*g(x)²이 되겠죠 g(x)는 안쪽에 있는함수 입니다 적어도 우리가 고려하는 범위 내에서는요 그러니까 와셔의 넓이는 이렇게 둘 수도 있고 이 식을 π로 묶을 수도 있습니다 만약 이 식을 π로 묶으면 π*이 됩니다 여기에 굳이 괄호를 쓸 필요가 없군요 그러면 π* 이렇게 쓸 수 있겠네요 만약 부피를 구하고 싶다면 같은 노란색으로 써야겠네요 만약 우리가 이것의 부피를 구하고 싶다면 그냥 와셔 각각의 폭을 곱하면 됩니다 따라서 각 와셔들의 부피는 π* 즉 이 구간에서 바깥쪽 함수의 제곱에 이 구간에서 안쪽 함수의 제곱을 빼준 식에 깊이를 곱한 것이 됩니다 깊이를 곱한 것이 됩니다 이게 각 와셔들의 부피입니다 그리고 이는 구간 내에서 주어진 x로 정의될 수 있습니다 구간 내의 각 x에서 우리는 새로운 와셔를 정의할 수 있습니다 그러니까 와셔가 여기에도 있을 수 있고 저기에도 있을 수 있는거죠 이제 우리는 이 모든 와셔를 더할겁니다 그리고 점점 더 작은 깊이에 대한 극한값을 구할겁니다 그러면 무한히 많은 무한히 얇은 와셔들을 구할 수 있겠죠 이제 이 구간에서 적분을 할 겁니다 적분 구간은 두 함수가 교차하는 구간입니다 꼭 교차하는 구간이어야할 필요는 없지만 이 경우에서는 교차하는 구간만을 고려해볼겁니다 그럼 x 가 a x가 b라고 해봅시다 물론 이게 a가 될 수도 있고 이게 b가 될 수도 있습니다 하지만 우리가 정한 구간에서 이를 일반적으로 말하면 a에서 b까지가 됩니다 그리고 이 식이 회전체의 부피를 나타냅니다 이것이 각 와셔의 부피를 의미합니다 우리는 모든 와셔의 부피를 더한 후 와셔의 수를 무한히 늘려 극한을 취합니다 만약 이를 저번 영상의 예시에 대입한다면 같은 답을 얻을 수 있을 겁니다 저번 영상에서 g(x)=x였고 f(x)=√x였습니다 그럼 그 경우를 우리가 유도했던 것을 이용해서 생각해봅시다 그러면 부피는 여기 써볼까요 부피는 적분값이 될겁니다 두 교점의 값이 어떻게 되죠? 여기서 다시 한 번 우리는 다른 곳에서도 구간을 정의할 수 있습니다 여기라던가 여기 사이에서요 그리고 다른 모양을 얻을 수도 있을 겁니다 하지만 우리가 이를 시각화할 때 고려할 점은 x=0에서 x=1 사이라는 것입니다 두 함수가 교차하는 점이죠 저번 영상에서도 보셨죠? π배를 해주는데 f(x)²이 뭐죠? f(x)²에 √x의 제곱은 그냥 x이고 여기에 g(x)²을 빼줍니다 g(x)=x 이고 제곱하면 x²입니다 그리고 dx를 곱해줍니다 π로 묶을 수 있겠네요 그럼 이 식은 0에서 1까지 (x-x²)dx에 π를 곱한게 되죠 x를 적분하면 (x²)/2가 됩니다 x²을 적분하면 (x³)/3이 되죠 그리고 이를 0에서 1까지 적분해봅시다 이를 계산하면 쓸 공간이 부족하네요 잠깐 오른쪽으로 옮겨갈까요 계산 결과는 π 곱하기 이 식에 1을 대입해보면 1/2-1/3이 되겠네요 1/2-1/3이 되겠네요 이제 0을 대입해서 빼야하는데 0을 대입하면 그냥 0이 되죠 - 계산하면 0이 됩니다 식에서 0을 빼면 그냥 여기 있는 식이 남죠 (1/2)-(1/3)이 뭐죠? 1/6이죠 이건 1/6입니다 그럼 이 식의 결과는 π/6이 됩니다 저번 영상에서 구한 값과 완전히 같죠 우리가 저번 영상에서 했던 것과 완전히 같은 것을 했기 때문입니다 다른 방법으로 개념화했을 뿐이죠 우리는 그것을 f(x)와 g(x)를 통해 일반화한 것입니다 그리고 와셔를 이용해 근본적으로 개념화했죠 저번 영상에서 바깥쪽 모양에 대해 디스크법으로 부피를 구하고 안쪽 모양의 부피를 구한 것과는 대조적으로 말이에요 커넥트 번역 봉사단 | 김현수