두 함수 사이 회전체 (워셔법으로 이어집니다)

회전체의 부피를 구하는 활동을 계속해 봅시다 회전체의 부피를 구하는 활동을 계속해 봅시다 y=√x의 그래프가 있다고 합시다 이처럼 생겼습니다 여기 y=√x의 그래프가 있습니다 또, y=x의 그래프도 있다고 합시다 y=x의 그래프는 다음과 같이 생겼습니다 이렇게 생겼습니다 y=x 이 두 그래프 사이의 영역을 x 축에 대하여 회전할 경우 생기는 회전체에 대해 생각해봅시다 그려 봅시다 바깥쪽은 트뤼플 모양일 것이고 트뤼플처럼 생겼을 것입니다 안쪽은 원뿔처럼 파여있을 것입니다 잘 그리려고 노력해보겠습니다 이렇게 생겼을 것입니다 바깥쪽은 이렇게 생겼을 것이고 이렇게 생겼을 것인데 중요한 것은 범위입니다 두 그래프가 만나는 두 점 사이의 범위에 해당하는 점들에 관심이 있습니다 이 점과 이 점 사이 말이지요 바깥쪽은 이렇게 생겼을 것이고 트뤼플 모양의 밑입니다 이게 트뤼플 모양의 밑부분입니다 바깥쪽에는 이처럼 트뤼플 모양을 가질 것입니다 그런데, 다이어트를 하고 있다면 트뤼플을 전부 다 먹고 싶지는 않겠죠 안쪽에 원뿔 모양으로 트뤼플을 파내어 봅시다 따라서, 껍질 같은 부분 빼고 안쪽은 거의 텅 비어 있는 것이지요 안쪽에 원뿔 모양으로 트뤼플을 파내어 봅시다 위 그래프 사이의 영역을 x 축에 대해 회전하면 바깥쪽은 트뤼플 모양 안쪽은 원뿔처럼 파여 있습니다 이 회전체의 부피는 어떠할까요 회전체의 단면을 살펴보면 이러한 모양을 관찰할 수 있습니다 x 축에 대하여 회전하여 얻은 물체에서 이 벽의 전체 부피를 구해볼 것입니다 어떻게 구할 수 있을까요? 트뤼플 모양이 파여 있지 않을 경우의 부피를 구한 뒤 원뿔 모양의 부피를 빼면 바깥쪽 트뤼플 모양과 안쪽 원뿔 모양 사이 부분의 부피를 구할 수 있을 것입니다 어떻게 구할 수 있을까요? 바깥쪽 트뤼플 모양의 부피를 구해 봅시다 여기 그려 보겠습니다 여기 그려 보겠습니다 바깥쪽 트뤼플 모양의 부피를 생각해 보면 디스크 방법을 사용할 수 있을 것입니다 이 물체의 어느 점에서든 원판의 지름은 함숫값과 일치할 것입니다 원판을 회전시켜 봅시다 다른 색을 사용해 보겠습니다 같은 자주색이어서 원판을 식별하기 힘들군요 이게 반지름인데, 회전시켜 봅시다 원판을 회전시키고 있습니다 이것이 원판의 앞면입니다 dx의 두께를 가지고 있죠 여러 번 보았을 겁니다 dx의 두께를 가지고 있죠 이 원판의 부피는 면의 넓이와 dx를 곱한 값입니다 면의 넓이는 π 곱하기 반지름의 제곱입니다 반지름은 바깥쪽 경계의 함숫값으로 이 경우에는 √x입니다 면의 넓이는 π 곱하기 반지름의 제곱입니다 π 곱하기 (√x)²입니다 트뤼플 모양 전체의 부피를 알고 싶다면 트뤼플이든 뭐든 말이죠 안쪽을 파내기 전에 우리가 만든 이 원판들을 모두 더하면 됩니다 이게 하나의 원판이고, 여기 또 다른 원판이 있겠죠 원판 하나 더 모든 x값에 해당하는 원판이 존재합니다 x값이 증가함에 따라 원판의 반지름도 증가합니다 이제 모든 원판을 더해야 합니다 각각의 원판이 무한히 얇아질 수 있도록 극한 기호를 취하면 무한개의 원판이 존재하게 됩니다 여기서 적분의 양 끝값을 알아내어야 합니다 적분의 양 끝값이 무엇일까요? 두 그래프가 만나는 두 점은 어디일까요? 두 식이 서로 같다고 놓고 계산하면 됩니다 x=√x라고 놓으면 x=√x가 성립하는 x값은 무엇일까요? 양변을 제곱하면 x=x²이 성립하는 x값은 무엇일까요? 잠시 생각해볼까요 이 문제를 해결하기 위한 다양한 방법이 존재합니다 암산으로도 쉽게 나오는군요 x=0일 때 위 식이 성립합니다 그래프에서 볼 수 있듯이 x=0일 때 성립합니다 또한, x=1일 때도 위 식이 성립합니다 1=1²이기 때문이죠 다른 방법을 사용할 수도 있습니다 x²-x=0이니까 x로 묶어보면 x(x-1)=0의 식을 얻을 수 있습니다 x나 x-1이 0이 되어야 하므로 x=0 또는 x-1=0이어야 합니다 따라서 x=0 또는 x=1의 결과를 얻을 수 있습니다 따라서 x=0 또는 x=1의 결과를 얻을 수 있습니다 이것이 적분의 범위입니다 x=0부터 1까지 적분하면 됩니다 바깥쪽 물체의 부피를 알 수 있습니다 그러나 아직 끝나지 않았습니다 바깥쪽 모양에서 제외할 안쪽 모양의 부피를 알아내어야 합니다 안쪽 모양의 부피를 빼면 됩니다 구한 부피를 제외하면 됩니다 x값은 또다시 0과 1 사이가 되겠습니다 원판에 대해 다시 생각해봅시다 원판을 여기 안쪽에 그려봅시다 안쪽에 원판을 그릴 수 있습니다 원뿔 모양 부분을 파내고 있습니다 원판의 면의 넓이는 무엇인가요? π 곱하기 반지름의 제곱일 것입니다 이 경우, 반지름은 안쪽 모양의 식과 같을 것이고 안쪽 모양의 식은 y=x입니다 안쪽 모양의 식은 y=x입니다 구한 면의 넓이를 두께와 곱해주어야 합니다 각 원판의 두께와 말이지요 모든 원판은 dx의 두께를 가질 것입니다 무한히 얇은 두께를 가지는 동전을 생각해보십시오 두께는 dx입니다 따라서, 원뿔 모양으로 파내어진 트뤼플 형태의 부피는 이 정적분식에서 이 정적분식을 뺀 값입니다 쉽게 계산할 수 있습니다 일단 두 식에서 모두 π를 앞으로 빼낼 수 있을 것입니다 이 식은 다양한 방법으로 쓸 수 있는데요 그냥 이렇게 계산해 봅시다 다음 영상에서 일반화하겠습니다 이 식은 0부터 1까지의 정적분식과 같습니다 π를 밖으로 빼내고 (√x)²을 계산하면 x dx 빼기 정적분식이 될 것이고 여기서도 π를 빼낼 수 있습니다 0부터 1까지 x²을 적분해주면 됩니다 π 곱하기 x의 역도함수는 x²이고 이를 0부터 1까지 적분해준 값에서 π 곱하기 x²의 도함수인 x³/3을 0부터 1까지 적분한 값을 빼준 것과 같습니다 이 식은 색을 바꾸어 보겠습니다 계속 초록색으로만 써서 π 곱하기 1/2 - 0 제곱이라고 쓰겠습니다 1의 제곱 나누기 2 빼기 0의 제곱 나누기 2 빼기 π 곱하기 1 세제곱 나누기 3 빼기 0 세제곱 나누기 3 이를 계산해 보면 파란색으로 해보겠습니다 단순하네요 이건 바로 0이고 1의 제곱 나누기 2는 그냥 1/2이고 따라서 π/2네요 옆의 식은 -π/3의 결과가 나옵니다 이를 단순화시키는 과정은 분수 계산밖에 없는데요 공통분모를 찾아봅시다 공통분모를 6이라고 하면 3π/6이고 3π/6 - 2π/6가 됩니다 3π/6 - 2π/6가 됩니다 3π/6 - 2π/6가 됩니다 마지막으로 3 곱하기 빼기 2 곱하기 결국 π/6가 나옵니다 끝났습니다 안쪽이 파인 트뤼플 모양의 부피를 구했습니다 커넥트 번역 봉사단 | 서윤아