y축과 수직인 단면을 이용한 부피

R이 그래프 아래의 넓이 y = 4√9-x의 아래의 넓이입니다 그리고 이는 제 1사분면에 위치합니다 여기 R은 회색 부분의 넓이입니다 R은 입체의 밑변입니다 각 y 값은 y 축에서 수직인 입체의 단면은 가로가 R에 위치하고 세로가 y인 직사각형입니다 정적분을 사용하여 입체의 부피를 구하시오 영상을 멈추고 혼자 풀어보세요 이제 함께 풀어봅시다 우선 입체의 그림을 그려봅시다 우선 입체의 그림을 그려봅시다 우선 입체의 그림을 그려봅시다 이는 y 축이며 이는 x 축입니다 R을 다시 그리면 다음과 같습니다 그리고 입체의 단면을 생각해봅시다 y 축과 수직하는 입체의 단면입니다 여기 이 y 값을 봅시다 y 축에서 수직하는 것입니다 밑변이 R 위에 있다고 합니다 따라서 가로는 다음과 같습니다 이는 해당 y 값에 따르는 x 값일 것입니다 따라서 x 라고 적겠습니다 그리고 세로는 y입니다 따라서 세로는 y 값입니다 그리고 부피를 구하려면 이는 깊이가 무한히 작은 조각입니다 y로 무한히 작은 깊이를 표현합니다 따라서 여기 깊이는 dy입니다 dy이고 다른 단면을 그려봅시다 예를 들어 여기를 보면 y가 훨씬 낮기 때문에 따라서 세로가 다음과 같습니다 가로의 길이가 x 값에 달려있기 때문에 여기 곡선 위에 있는 x, y 쌍입니다 곡선 위에 있는 값이죠 따라서 이 단면은 다음과 같습니다 다시 말해서 부피를 구하고 싶다면 무한히 작은 부피를 가지며 깊이가 dy입니다 적분에서 많이 했듯이 이 입체들의 부피를 구해야 하는 것입니다 조각들이죠 그리고 적분을 합니다 이를 풀 수 있는 여러 방법이 있습니다 x에 대하여 적분을 할 수 있고 y에 대하여 적분을 할 수도 있습니다 y에 대하여 적분을 하는 것이 훨씬 쉬운데 그 이유는 dy에 대한 식이 있기 때문입니다 이 조각의 부피는 y 곱하기 x 곱하기 dy입니다 y에 대하여 적분을 한다면 모든 식을 y에 대한 식으로 바꿔야 합니다 따라서 x를 y에 대한 식으로 만들어야 합니다 따라서 이를 x에 대하여 풀면 이를 할 수 있는 한 가지 방법은 양변에 제곱을 합니다 우선 양변을 4로 나눕니다 따라서 y/4는 √9-x입니다 이제 양변을 제곱합니다 y^2/16은 9-x입니다 그리고 봅시다 양변에 -1을 곱합니다 따라서 -y/16는 x-9입니다 그리고 양변에 9를 더합니다 따라서 (9 - y^2)/16은 x입니다 따라서 이를 대입해봅시다 다른 방법은 여기 작은 무한히 작은 깊이를 가진 조각의 부피를 구하면 dy가 깊이입니다 해당 값은 y 곱하기 9 빼기 y^2/16 dy입니다 그리고 이 부피를 구하려면 다음과 같습니다 이는 적분을 해야 합니다 y = 0부터 y = 12까지요 따라서 y = 0부터 y = 12까지 적분을 합니다 이게 문제에서 요구하는 것입니다 부피를 정적분으로 나타내야 합니다 하지만 이는 계산기 없이 풀 수 있는 정적분입니다 두 항을 y로 곱하면 y로 이루어진 다항식이 됩니다 그리고 부정적분을 구하고 정적분을 구합니다