곡선과 x축 사이의 넓이: 음수인 넓이

여기 있는 그래프는 y=cosx의 그래프입니다 여기 있는 그래프는 y=cosx의 그래프입니다 오늘 하려는 것은 y=f(x)와 x축 사이의 넓이를 구하는 것입니다 이를 다양한 구간에 대해서 해보고자 합니다 첫 번째로 생각해 볼 구간은 x=0부터 x=π/2까지입니다 x=0부터 x=π/2까지입니다 즉, 여기 있는 영역에 대해 살펴보고자 하는 것이죠 수식으로 표현하자면 0에서 π/2까지 cosx의 정적분이라 할 수 있겠습니다 조금 다르게 생각해보면 그 값은 폭이 dx이고 높이가 f(x)인 아주 얇은 직사각형들의 넓이의 합으로 나타내어집니다 직사각형의 수를 무한히 늘리고 그 폭을 무한히 얇게 만들면 같은 값이라 할 수 있지요 이 표기를 그림으로 도식화한 것입니다 하지만 우리는 이 값을 어떻게 계산하는지 이미 알고 있습니다 미적분학의 제2 기본정리를 이용하면 쉽게 계산 가능하지요 우리가 해야할 것은 단순히 cosx의 역도함수를 구하는 것입니다 π/2에서 그 값을 계산한 후 0에서의 값을 빼주면 되겠지요 그럼 cosx의 역도함수에는 무엇이 있을까요? 우리가 이미 알고 있는 사실은 여기 위쪽에 쓰겠습니다 sinx를 미분하면 cosx가 된다는 것입니다 따라서 cosx의 역도함수에는 sinx가 있겠네요 자, 제가 역도함수를 구할 때 역도함수 중 하나만 구하는 이유가 무엇일까요? 도함수를 구할 때 sinx에 어떤 임의의 상수를 더하더라도 미분한 값은 여전히 cosx입니다 상수의 미분값은 0이기 때문이지요 이 상수 C는 π일 수도 있고 5일 수도, 백만일 수도 있고 어떠한 큰 수라도 될 수 있습니다 그렇더라도 이 함수의 도함수는 여전히 cosx이지요 따라서 역도함수 중 어느 한 가지만 구해도 문제가 없는겁니다 이 경우 sinx가 가장 간단한 함수입니다 상수가 0이기 때문이죠 이제 계산해 봅시다 이 식을 다른 방법으로 나타내면 cosx의 역도함수 중 하나인 sinx가 됩니다 이제 이 식에 π/2를 넣어서 값을 계산한 후에 0을 대입해 계산한 값을 빼주면 됩니다 계산해 보겠습니다 이쪽에 필기할게요 이 식은 sin(π/2)에서 sin(0)을 뺀 것이므로 sin(π/2)의 값은 1이고 sin(0)의 값은 0이므로 1-0=1이 됩니다 따라서 여기 있는 영역의 넓이는 1이 됩니다 이번에는 조금 흥미로운 활동을 해 볼까요? 이번에 생각해 볼 영역의 넓이는 그림에 그려져 있는 함수의 아랫부분 중 π/2부터 3π/2까지의 넓이입니다 π/2부터 3π/2까지의 넓이입니다 이 두 점 사이가 되겠죠 이 영역에 대해 이야기하는 겁니다 여기 색칠된 영역이요 이 점이 3π/2입니다 다시 한번 이 넓이를 표현해보면 cosx의 π/2에서 3π/2까지의 정적분입니다 cosx의 역도함수 중 하나를 구하면 sinx이지요 3π/2와 π/2에서 계산해봅시다 식을 풀어서 쓰면 sin(3π/2)-sin(π/2)가 되겠네요 sin(3π/2)의 값이 무엇일까요? 단위원을 빠르게 그려봅시다 이 원에서 3π/2는 호를 따라 ¾만큼을 따라 간 여기에 위치합니다 sin함수는 이 점의 y좌표를 읽으면 되므로 -1이 됩니다 따라서 이 값은 -1이 됩니다 그리고 여기 있는 sin(π/2)의 값은 여기 위쪽에 위치하겠죠 그러므로 sin(π/2)는 1입니다 결과가 흥미롭네요 이 값은 -1에서 1을 뺀 값인 -2가 됩니다 음의 넓이가 나왔네요 넓이가 음의 값이 나왔습니다 이것이 어떻게 가능한 걸까요? 실제 세계에서의 영역의 넓이는 언제나 양수입니다 여기에서 -2가 뜻하고자 하는 바는 무엇일까요? 이 값이 의미하는 것은 바로 함수가 x축의 아래쪽에 위치한다는 것입니다 그러므로 이 영역의 넓이는 2이지만 x축의 아래쪽에 위치한다고 생각하면 되겠네요 그래서 음의 부호가 붙은 것입니다 원래 넓이는 2이지만 x축의 아래쪽에 있으므로 음의 넓이가 나오게 된 것이죠 다른 재미있는 활동을 하나 더 해봅시다 cosx의 0부터 3π/2까지의 정적분의 값은 얼마일까요? 이 전체 넓이를 생각해보려는 겁니다 0부터 3π/2까지의 넓이죠 어떤 결과가 나올까요? 한 번 계산해봅시다 sin(3π/2)-sin(0)을 계산하면 되겠습니다 sin(3π/2)-sin(0)을 계산하면 되겠습니다 계산하면 -1에서 0을 뺀 값인 -1이 나오겠네요 어떤 일이 벌어졌습니까? 지금 제가 강조하고 있는 주황색의 영역은 전체가 음의 값을 가지지는 않습니다 게다가 넓이가 1인 것도 아니지요 하지만 어떤 일이 일어난 걸까요? 첫 번째 예시에서 우리는 이 첫 번째 영역의 넓이가 1이라는 것을 알아냈습니다 그리고 나서 이 두 번째 영역의 넓이는 -2라는 것을 구했죠 그리고 나서 이 두 번째 영역의 넓이는 -2라는 것을 구했죠 이 결과를 해석해 보자면 x축 위로 있는 알짜 영역의 넓이가 -1이라고 할 수 있겠습니다 단순하게는 알짜 영역의 넓이가 -1이라고 말하면 되겠네요 x축 위에서의 넓이인 1이 아래쪽에서의 넓이인 2와 상쇄되는 것입니다 여기서 알 수 있는 사실은 미적분학의 제2기본정리를 사용하여 구한 정적분의 값은 x축 위쪽의 알짜 넓이와 같다는 것입니다 그 값이 음수가 나온다면 대부분의 넓이가 x축 아래쪽에 있다는 것을 의미하겠지요 그 값이 0이라면 넓이는 모두 상쇄되었겠네요 만약 이 경우의 예시를 보고 싶다면 0부터 2π까지의 정적분 값을 구해보세요 이 값은 0이 나올 겁니다 왜냐하면 x축 위로는 1의 넓이가 두 개 등장하지만 -2의 넓이와 상쇄되기 때문입니다 직접 계산해봅시다 0에서 2π까지의 cosx의 정적분은 sin(2π)-sin(0)의 값과 같고 그 값은 0-0이므로 0이 되겠네요 이제 이 영역은 x축 위쪽의 부분과 아래쪽의 부분이 모두 상쇄되었음이 명확해졌습니다 커넥트 번역 봉사단 | 박혜준