곡선 사이의 합성 넓이

이 동영상에서 알아 볼 내용은 노란색으로 칠하는 부분의 면적을 구하는 문제입니다 이 문제는 좀 어려워 보입니다 왜냐하면 면적의 아랫부분은 하나의 함수로만 이루어져서 y = x²/4 - 1 의 그래프 하나만 생각하면 되지만 윗부분은 두 개의 함수로 이루어져 있기 때문입니다 이 문제를 풀기 위해서는 이 영역을 두 부분으로 나누거나 왼쪽, 오른쪽 두 영역으로 나누는 방법을 써야 합니다 여기 더 노란색으로 칠하는 첫번째 영역에서 x의 범위를 생각해 봅시다 이 영역의 x의 범위는 0에서 1사이인 것 같네요 x가 1일 때 이 함수의 y 값은 1이고 이 함수 역시 x = 1일때 y 값이 1이 됩니다 이 점의 좌표는 (1,1)이 되겠죠 이 곳에서 영역이 나뉘어 집니다 여기 있는 이 부분은 영역의 윗부분이 y = √x 입니다 전체 영역을 이제 두 부분으로 나눠서 문제를 풀어 보겠습니다 x의 범위가 1에서 2까지인 이 부분은 윗부분이 y = 2 - x 함수입니다 한 번 풀어봅시다 첫번째 영역을 먼저 생각해 보면 구간 0에서 1까지의 정적분 위에 있는 함수 √x 에서 아랫부분에 있는 함수 x²/4 - 1을 빼줘야 합니다 따라서 x가 0에서 1까지 ∫(√x - ( x²/4 - 1)) 이곳에 dx가 있어야 하겠죠 이 식은 이 노란색 부분의 면적을 나타내는 식입니다 이 영역에서 두 함수의 함수값 차이는 실제로 이 높이가 됩니다 다른 색으로 표시해 보겠습니다 이 높이에 x의 변화율 dx를 곱하면 dx의 폭을 가진 직사각형의 넓이를 구할 수 있습니다 이 직사각형을 각각의 x에 대해 그려주면 서로 다른 크기의 직사각형을 얻을 수 있습니다 그 넓이를 모두 더하면 전체 영역의 넓이가 됩니다 그리고 x의 변화율을 0에 가까운 극한으로 보내면 극도로 얇은 모양의 직사각형들을 얻을 수 있습니다 직사각형의 갯수는 무한개가 됩니다 이것이 바로 리만의 정의 혹은 정적분의 정의 입니다 이 식은 왼쪽 부분의 넓이 입니다 같은 원리로 오른쪽 부분의 넓이도 구할 수 있습니다 오른쪽 부분의 넓이를 구하는 식을 여기에 더하면 전체 넓이를 알 수 있습니다 오른쪽 부분의 넓이는 x가 0에서 , 아니죠 x가 1에서 2사이 입니다 윗부분 함수는 2-x 여기에서 아랫부분의 함수 x²/4 - 1을 빼주면 됩니다 x는 1에서 2까지 ∫(2 - x - ( x²/4 - 1) )dx 계산을 해 보겠습니다 먼저 이 식을 간단히 해 봅시다 x는 0에서 1까지 ∫(√x - x²/4 + 1) dx 이 식에 더하기 1에서 2까지 ∫(2 - x - x²/4 - (-1)은 +1과 같으므로 2에 1을 더하면 3 ∫(3 - x - x²/4) dx 라는 식이 됩니다 적분을 풀어서 0에서 1까지의 면적을 구해봅시다 √x는 x의 1/2 제곱이므로 지수가 1 증가하면 x의 3/2제곱이 되고 새로운 지수의 역수를 앞에 곱해줘야 하므로 2/3x^3/2이 됩니다 x²을 적분하면 x³이 되고 3으로 나눠주는데 이미 1/4가 있으므로 12로 나눠줍니다 여기에 더하기 x 이것은 1을 적분한 것이죠 이 값을 0에서 1까지 구합니다 두번째 식은 적분하면 (3x - x²/2 - x³/12)가 되고 이 값을 1에서 2까지 구하면 됩니다 여기에 1을 대입하면 (2/3 - 1/12 +1) 이 되고 0을 대입한 값을 빼야 하는데 그 값이 0이므로 이렇게 간단히 할 수 있습니다 이 부분은 2를 대입하면 6이 되고 2의 제곱을 2로 나누면 2, 여기에 8/12를 빼면 됩니다 이 계산 결과에서 x가 1일 때의 값을 빼 줍니다 1을 넣으면 3 X1 = 3이므로 (3 - 1/2 - 1/12) 이제 분수 계산만 잘 하면 됩니다 여기서는 12가 최소 공배수가 되겠죠 (8/12 - 1/12 + 12/12) 가 되고 답은 뭘까요? 19/12 입니다 여기 노란색 부분의 면적입니다 그리고 6 - 2 = 4 따라서 이 식은 48/12 - 8/12 로 쓸 수 있겠죠 3은 36/12로 고쳐서 빼 줍니다 1/2 은 6/12가 되고 여기에 1/12를 더하겠습니다 48 - 8 = 40이고 여기서 36을 빼면 4 더하기 6은 10 더하기 1은 11 따라서 답은 11/12 가 됩니다 맞게 계산했는지 검토해 봅시다 48 - 8 = 40 40 - 36 = 4, 10, 11 맞습니다 이 두 값을 더해야 합니다 19 + 11 = 30 따라서 30/12이 됩니다 약분이 필요하겠네요 분자와 분모를 6으로 나누면 5/2, 혹은 2와 1/2이 됩니다 답이 나왔습니다 전체 영역의 넓이는 2와 1/2입니다