곡선 사이의 영역

우리는 이미 정적분을 사용하여 한 곡선과 x축 사이의 넓이의 개념에 대하여 다루었습니다 지금부터는 이것을 곡선 사이의 넓이로 확장해 볼 것입니다 그럼 한번 x=a부터 x=b까지 y=f(x)와 y=g(x)사이의 영역을 살펴봅시다 이것은 즉 바로 여기있는 영역이 되겠죠 여러분들이 정적분에 대하여 이미 알고있는 사실을 바탕으로 어떻게 이 넓이를 계산해보시겠습니까? 여러분들은 당연히 이렇게 말할것입니다 잘 보세요, 만약 a에서 b까지 f(x)dx를 적분을 취한다면 f(x)아래와 x축 위에있는 영역의 넓이를 알 수 있을겁니다 그리고 여기서 여기 보이는 넓이를 뺍니다 이 넓이는 a에서 b까지 g(x)dx를 정적분 취한 값이죠 그럼 제가 구하려고 했던 원래 부분의 넓이를 계산할 수 있죠 저는 여기 있는 넓이를 계산할 수 있고 이게 바로 구하려 했던 그 값이 됩니다 우리는 적분 경험을 통해 이것을 a부터 b까지 이부분에 소괄호를 치고 dx 를 적분하는 것으로 바꿔 말할 수 있습니다 를 적분하는 것으로 바꿔 말할 수 있습니다 를 적분하는 것으로 바꿔 말할 수 있습니다 지금부터 몇 가지 질문을 살펴보며 여기에 대한 이해를 키워보도록 하겠습니다 이 동영상을 통해서 말이죠 하지만 여기있는 구간처럼 a부터 b에서 f(x)가 g(x)보다 큰 구간의 적분은 다음과 같은 경우가 됩니다 곡선사이의 넓이는 우리가 원하는 x구간인 a부터 b까지 f(x)-g(x)를 적분한 값이 됩니다 여러분들이 어떤 생각을 하고 있는지 압니다 여러분들은 두 곡선이 모두 x축 위에 있는 경우는 잘 이해가 되셨을 겁니다 하지만 f(x)는 x축 위에 있고 g(x)는 x축 아래에 있는 경우는 어떨까요? 예를 들어서 여기 보이는 구간에 대해 생각해 봅시다 여기가 c점이라고 합시다 이건 즉 x=c입니다 여기는 x=d가 됩니다. 만약 우리가 제가 칠하고 있는 여기 이 영역을 계산하려면 어떻게 해야 할까요? 여기서도 적용이 될까 궁금하시죠? 여기서도 적용이 될까 궁금하시죠? 여기서도 적용이 될까 궁금하시죠? c에서 d까지 f(x)dx의 적분이 무엇을 나타내는지 생각해봅시다 이것은 바로 여기있는 넓이를 나타냅니다 그렇다면 c부터 d까지 g(x)dx를 적분한 값은 무엇일까요? 여러분들은 아마 여기 보이는 넓이가 될 것이라고 생각하실 수 있는데 g(x)가 x축 아래에 있다는 사실을 기억해 두셔야 합니다 이것은 음의 값을 나타냅니다 하지만 여러분들이 전체 넓이를 구하고자 한다면 여러분들이 할 수 있는 것은 양의 값인 이 파란 영역의 넓이를 구하고 음의 값을 나타내는 영역의 넓이를 빼주는 것입니다 그러면 여러분들은 전체 양의 값의 넓이를 구하실 수 있습니다 이것은 즉 인테그랄 c부터 d까지 f(x) 마이너스 g(x)와 같습니다. 명확히 하자면 여기에 소괄호가 있고 dx를 적습니다 다시 한 번 말하자면 f(x)가 x축 위에 있고 g(x)는 x축 아래에 있는 구간에서도 핵심은 똑같습니다 다른 경우를 생각해봅시다 두 곡선 모두 x축 아래에 있는 경우를 생각해 봅시다 x는, e는 수학적으로 의미가 있는 문자이므로 사용하지 않겠습니다, f와 g도 마찬가지군요 아무래도 지금 제가 쓸 수 있는 문자가 바닥난 듯 합니다 저는 지금부터 잘 모르겠군요, m이란 문자로 둡시다 여기 있는 건 n으로 두겠습니다 여기를 n으로 둡니다 제가 구하려 하는 것은 이 부분입니다 또 다시 f 밑에 있는 영역이죠 우리는 f가 g보다 큰 구간을 취하고 있습니다 즉 f보다 작고 g보다 큰 영역이죠 이 경우에도 끝점이 m과 n이 될까요? 약간 생각을 해봅시다 인테그랄 m부터 n까지 dx는 그냥 여기 적겠습니다 f(x)가 x축 위에 있고 마이너스 g(x)를 계산한다면 우린 이미 경험을 통해 이 값이 인테그랄 m부터 n까지 f(x)dx 빼기 인테그랄 m부터 n까지 g(x)dx라는 것을 알고 있습니다 각각이 무엇을 의미하는지 생각해 봅시다 여기있는 노란 영역의 적분은 이 영역의 음의 넓이를 나타냅니다 즉 이건 음의 값이 되겠죠 하지만 이 값의 크기는, 이 값의 절대값은 여기있는 영역의 넓이가 되겠죠 그럼 이 적분값은 여기있는 마이너스 부호를 무시한다면 이 파란 영역의 g(x)를 적분하면 어떤 값이 될까요? 이 값은 이 전체 영역의 음의 넓이를 나타냅니다 하지만 우리는 여기에 마이너스를 취할 것입니다 따라서 여기있는 부분은 마이너스 부호를 포함하는 전체 부분은 우리에게 전체 영역의 넓이를 알려줄 것입니다 전체 넓이 말이죠 이것은 우리가 마이너스 부호를 취했으므로 실제로 양의 값을 나타냅니다 하지만 우리가 구하려고 했던 바로 이 영역은 즉 우리가 원래 구하려고 했던 영역은 이 노란 영역을 빼야 합니다 여기 보이는 노란 영역을 적분하면 이것은 바로 인테그랄 m부터 n까지 f(x)dx가 됩니다 이것은 이 노란 영역의 넓이의 음의 값을 나타냅니다 만약 파란 영역의 넓이를 더한다면 마이너스에 마이너스를 취하면 플러스가 되므로 이 노란 영역의 넓이의 음의 값이 됩니다 여러분들은 다시 한 번 구하고자하는 영역의 넓이를 계산했습니다 즉 우리가 살펴본 모든 경우에서 f(x)가 g(x)보다 큰 구간에서는 곡선사이의 넓이는 그 구간에서 f(x)-g(x)를 정적분을 취한 값이 됩니다 커넥트 번역 봉사단 | 장세일