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코스: 적분학 > 단원 3

단원 3: 운동을 제외한 적분의 응용

정적분을 다루는 문제 분석하기

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정적분을 어떤 양의 누적으로 해석하면 여러 실생활 문장제 문제를 풀 수 있습니다.

누적 문제는 어떤 양의 변화율이 주어지고, 시간이 지남에 따라 누적된 그 양을 구하는 문장제 문제입니다. 이러한 문제는 정적분을 사용해 풉니다. 어떻게 하는지 살펴봅시다.

누적 문제는 정적분으로 풀 수 있습니다

다음 문제가 주어져 있습니다:

수프의 온도가 $r (t) = 30 e^{- 0.3 t}$ ‍ ℃/min의 속도로 증가하고 있습니다( $t$ ‍는 분입니다). $t = 0$ ‍일 때 수프의 온도는 $23$ ‍℃입니다.

$t = 0$ ‍에서 $t = 5$ ‍분까지 온도가 증가한 양을 구하라고 했다고 상상해 봅시다. 이는 누적 (혹은 총 변화량) 문제입니다. 이를 알 수 있는 것은 어떤 양의 변화량을 나타내는 함수가 주어졌고, 어떤 시간의 구간 동안의 변화량을 묻고 있기 때문입니다.

변화율이 함수

r

로 주어진 모든 양에 대해 정적분

\int_{a}^{b} r (t) d t

가 양이

t = a

에서

t = b

까지 변화한 정도를 나타냅니다.

따라서 이 경우 온도가

t = 0

에서

t = 5

까지 증가한 양은

\int_{0}^{5} r (t) d t

입니다.

\int_{0}^{5} r (t) d t \approx 77.7

℃

이제 다른 문제를 보았다고 가정해 봅시다: $t = 5$ ‍에서 수프의 온도는 얼마인가요? 그러면 변화량이 아니라 실제값을 다뤄야 한다는 것에 주의하세요. 하지만 겁먹을 필요는 없습니다. 이 경우에도 정적분을 사용할 수 있어요! 초기 조건을 더하기만 하면 됩니다.

수프의 온도가

t = 0

에서

23

℃였다는 것을 기억하세요. 이것을

t = 0

부터

t = 5

까지의 총 변화량에 더하면

t = 5

에서의 온도를 구할 수 있습니다:

\underset{t = 0 에서의 온도}{\underset{⏟}{23}} + \overset{t = 0 에서 t = 5 까지 온도의 변화}{\overset{⏞}{\int_{0}^{5} r (t) d t}}

이미

\int_{0}^{5} r (t) d t

를 계산했으므로

t = 5

분에서 온도는

23 + 77.7 = 100.7

℃임을 알 수 있습니다. 끓는 온도네요!

연습문제 1

다음 문제를 살펴보세요:

어떤 마을의 인구는 연간 $r (t) = 300 \cdot e^{0.3 t}$ ‍명의 속도로 증가합니다( $t$ ‍는 년입니다). 시간 $t = 2$ ‍에서 인구는 $1200$ ‍명입니다. $t = 7$ ‍일 때 마을의 인구는 얼마일까요?

다음 중 어떤 방정식을 사용하여 이 문제를 풀어야 하나요?

흔한 실수:초기 조건의 잘못된 사용

어떤 누적 문제들은 총 변화량을 묻기도 하고 어떤 문제는 실제 값을 묻기도 합니다. 실제 값을 물어볼 때의 다른 점은 초기 조건을 꼭 사용해야 한다는 것입니다.

흔한 실수는 총 변화량만 구하는데 초기 조건을 사용하거나 실제 값을 물었는데 초기 조건을 사용하지 않는 것입니다.

흔한 실수: 미분 대신 적분의 사용

응용 문장제 문제는 미적분학에서 흔한 문제입니다. 문장제 문자가 주어졌을 때 해가 도함수와 연관되어 있는지 적분과 연관되어 있는지 정해야 합니다. 틀린 선택은 틀린 답으로 이어집니다.

도함수는 어떤 양이 주어졌을 때 변화율을 구하는 데 유용하고, 적분은 변화율이 주어졌을 때 양을 구할 때 유용합니다.

	주어진 것	찾고자 하는 것	써야 하는 것
미분학	양	변화율	미분
적분학	변화율	양 (혹은 양의 변화)	적분

연습문제 2

다음 문제를 살펴보세요:

물탱크의 수위가 $r (t) = 0.3 t$ ‍cm/분 의 속도로 변화하고 있습니다( $t$ ‍는 분입니다). 시간 $t = 0$ ‍에서 수위는 $35$ ‍cm입니다. 4분째에 수위의 변화량은 얼마인가요?

다음 중 어떤 방정식을 사용하여 이 문제를 풀어야 하나요?

흔한 실수: 잘못된 적분 구간의 선택

방금 본 것처럼 알맞은 적분 구간을 구하는 것은 정확한 답을 구하는 데에 필수적입니다. 틀린 종점을 골랐는지 확인해야 하고, 특히 흔히 잊는 시작점에 주의하세요.

연습이 더 필요한가요? 이 연습문제를 풀어 보세요.

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