곡선 사이의 수평 넓이

두 개의 곡선의 그래프가 있습니다 y가 x에 대한 함수인 것을 자주 보았지만 여기선 x가 y에 대한 함수입니다 따라서 위 식을 y에 대한 함수로 표현할 수 있습니다 그리고 이 두 번째 식은 다르게 적기 위해 g(y)라고 합시다 다시 말하지만 이는 y에 대한 함수입니다 해당 영상에서 신경써야 할 것은 이 두 곡선 사이의 파란색 부분의 넓이입니다 영상을 잠시 멈추고 혼자 풀어보세요 여기서 힌트는 y에 대해 적분을 할 것입니다 범위가 y로 표현된 정적분입니다 예를 들어서 해당 아래 접점은 y로 표현한 아래 경계입니다 이를 y1이라 부릅니다 그리고 여기 이 접점이 윗 경계입니다 따라서 곡선이 어디에서 만나는지 찾으면 그리고 해당 점의 y 좌표를 찾아야 합니다 이는 적분의 경계값 두 개를 줍니다 따라서 y1 부터 y2 까지 적분을 해야 합니다 y1 부터 y2입니다 y2 y 에 대해 적분을 할 것입니다 dy 이 합이 얼마인가요? 적분을 하려면 무한히 얇은 직사각형들의 합을 구해야 합니다 dy를 구하는 것이기 때문에 무한히 얇은 직사각형입니다 따라서 dy는 해당 직사각형들의 세로입니다 이 경우에는 직사각형의 세로 길이는 얼마인가요? 따라서 y1 부터 y2의 구간은 파란색 함수 f(y)는 g(y)보다 큰 x 값을 가집니다 따라서 여기 세로 길이는 f(y)입니다 여기 x 값 빼기 여기 x 값입니다 빼기 g(y)입니다 따라서 이는 f(y) 빼기 g(y)입니다 g(y) 이제 f(y)와 g(y)의 값을 압니다 여기서 여러운 점은 이 접점을 구하는 것입니다 이제 두 곡선이 어디에서 만나는지 찾아봅시다 이 둘은 x와 같기 때문에 두 y에 대한 값이 같다고 할 수 있습니다 따라서 다른 색으로 적어봅시다 따라서 -y^2 + 3y 더하기 11은 이와 같습니다 이는 y^2 +y -1과 같죠 따라서 이 모든 것을 양 변에서 빼서 오른쪽 변이 0이 되도록 합시다 그리고 왼변은 이차 함수가 남습니다 양변에 y^2을 뺍시다 y를 뺍니다 그리고 -1을 뺍시다 이는 1을 더하는 것과 같죠 그리고 여기에 같은 것을 해줄게요 -y + 1 그리고 여기 남은 것은 이차 함수입니다 따라서 이는 -2y^2 +2y입니다 맞나요? 맞네요 +2y + 12 는 0입니다 그리고 이 식을 -2로 묶으면 -2 곱하기 y^2 - y -6 = 0이 됩니다 이는 인수분해를 할 수 있죠 어떤 두 수가 더해서 -1이 나오나요? 그리고 곱이 -6이 나오나요? 이는 -3과 2입니다 따라서 이는 2y - 3y +2입니다 이 다항식의 인수분해는 매우 간단하죠 이차방정식이죠 맞게 풀었나요? 맞네요 이는 0과 같죠 그렇다면 두 개의 접점은 무엇인가요? 접점은 y = 3 그리고 y = -2입니다 따라서 여기는 y = -2이며 위는 y = 3입니다 따라서 이 적분값의 -2 부터 3까지의 값을 구합니다 구해봅시다 정리를 해볼게요 자리를 만들죠 따라서 이는 적분식의 -2부터 3까지의 값입니다 식은 -y^2 +3y +11 빼기 이 모든 값이죠 따라서 - 부호를 분배하면 이는 -y^2 -y + 1입니다 그리고 dy가 있죠 dy 그리고 이는 -2부터 3까지의 적분값 그리고 이는 -2부터 3까지의 적분값 -y^2 -y^2은 -2y^2입니다 그리고 3y - y는 + 2y입니다 그리고 11 + 1은 12입니다 y에 대해 푸는 것이기 때문에 dy입니다 이 값은 얼마인가요? 여기서 부정적분을 합니다 이는 -2 지수를 1 증가시키면 y^3 나누기 지수입니다 이는 멱의 법칙을 역으로 이용한 것이죠 +2y^2 나누기 2 이는 y^2이죠 멱의 법칙을 역으로 사용하는 것이요 그리고 더하기 12y입니다 그리고 이 식이 3일 경우와 -2일 경우의 값을 구합니다 3일 경우의 값을 구하면 -2 x 27 나누기 3 + 9 + 36입니다 그리고 여기서 빼기 이 식이 -2일 경우입니다 따라서 이는 -2 x -8 나누기 3 + 3 - 24 입니다 이제 사칙연산을 하면 끝납니다 봅시다 27/3은 9입니다 따라서 이는 -18입니다 -18 + 9는 -9입니다 + 36 결과는 27입니다 맞나요? 18 +9 = 27입니다 그리고 여기 빨간색 값은 이는 음수 곱하기 음수이므로 16/3 더하기 4 빼기 24입니다 따라서 이는 16 나누기 3 빼기 - 20 - 20입니다 하지만 여기에 -가 있기 때문에 분배를 하면 더하기 20 빼기 16/3 대신 5와 1/3으로 적습니다 빼기 5와 1/3 이 결과가 무엇인가요? 화면을 내려서 오른쪽으로 갑니다 자리가 더 있군요 따라서 이 값은 47 - 5 - 1/3 이는 47 - 5인 42 - 1/3인 41과 2/3입니다 끝났네요