수평선에 대해 회전한 원판법

여기에 그린 그래프는 여기에 그린 그래프는 y = √x의 그래프입니다 이 그래프를 회전시켜서 새로운 도형을 만들어보고자 합니다 그런데 이번에는 x축이나 y축을 기준으로 회전시키지 않고 어떤 임의의 선에 대해 회전시켜 보겠습니다 이 영상에서는 y=1을 기준으로 해보지요 이 직선이 y=1의 그래프입니다 이 직선이 y=1의 그래프입니다 이 선을 기준으로 회전시킬 겁니다 우선 오늘 하려는 활동을 시각화해보도록 하겠습니다 계산하려는 범위 먼저 정해볼까요? 두 그래프가 만나는 교점으로부터 x=4까지라고 합시다 여기가 x=4인 지점입니다 여기가 x=4인 지점입니다 여기가 x=4인 지점입니다 이 범위에서 이 그래프를 y=1에 대해 회전시켜보도록 하겠습니다 어떤 도형이 나올까요? 이 직선을 축으로 회전시키면 이렇게 생긴 모양이 나오겠네요 전체적인 모양은 보는 관점에 따라 다르겠지만 뿔 모양이라고 할 수도 있고 총알 모양이라고도 할 수 있겠네요 총알과는 안 비슷한가요? 어쨌든 이렇게 생긴 도형이 될 것입니다 시각화하는 데는 문제가 없군요 이미 이런 도형을 시각화하는 것은 여러 번 같이 해 보았죠? 이 도형의 부피는 어떻게 구할 수 있는지 생각해보도록 하겠습니다 여기에서도 원판을 생각하면 되겠네요 여기에 원판을 그려보겠습니다 여기에 원판을 그려보겠습니다 원판을 그리는 것 역시도 이미 여러 번 해 보았죠 이 원판의 부피를 구한 다음에 x의 범위에 대해서 부피를 모두 더해주면 찾고자 하는 값이 나올 겁니다 작은 원판들을 모두 쌓아서 전체 도형을 만드는 것이지요 그럼 작은 원판의 부피를 구해봅시다 먼저 원판 밑면의 넓이를 알아야겠군요 보라색으로 필기하겠습니다 이 면의 넓이를 구하고 높이를 곱해주면 부피가 됩니다 이 면의 넓이는 얼마일까요? π에 반지름의 제곱을 곱해주면 되겠죠? π에 반지름의 제곱을 곱해주면 되겠죠? 그렇다면 여기에서 반지름은 얼마입니까? 단순히 √x라고 생각하면 안 됩니다 여기서 √x는 그래프와 x축 사이의 거리를 나타내기 때문입니다 여기에서는 √x - 1이 반지름이 됩니다 이 부분의 길이와 같죠 주어진 범위에서 모두 성립합니다 그러므로 여기에 들어갈 식은 색을 맞춰서 적어볼까요? 색을 맞춰서 적어볼까요? √x - 1이 됩니다 √x - 1이 됩니다 이 식은 우리가 돌리는 함수의 식에서 회전축의 식을 뺀 것과 같네요 그것이 반지름이 됩니다 이 식이 각각의 원판의 밑면의 넓이가 되므로 높이를 곱해주면 부피가 됩니다 높이는 당연히 dx이죠 너무 여러 번 해봐서 다 알 거라 생각합니다 뒤에 dx를 곱해줍니다 이 식이 주어진 구간에서 더하고자 하는 것입니다 주어진 구간이 어디였죠? 이 교점은 제곱근이 1인 곳이므로 x=1이 되겠네요 이 교점의 x 좌표는 1입니다 그리고 아까 x=4까지를 구간으로 하기로 했었습니다 구간의 끝점이 되는 것이지요 여기 있는 그림을 볼 때 무엇이 x축인지 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다 x축은 이것입니다 x축은 이것입니다 x=1부터 x=4까지가 적분구간입니다 회전축이 x축이 아니기 때문에 조심해야 합니다 이 원판은 y=1을 축으로 회전하여 만들어진 것입니다 구간은 x=1부터 x=4까지입니다 이 정적분이 구하려는 도형의 부피가 되겠네요 이 정적분을 계산하기만 하면 되겠습니다 같이 해보도록 합시다 적분 구간은 1에서 4까지입니다 π를 적분 밖으로 꺼내줄 수 있겠네요 π를 적분 밖으로 꺼내줄 수 있겠네요 그리고 괄호를 전개해줍니다 괄호 안에 있는 부분을 따로 표시해보면 (√x - 1)(√x - 1)과 같이 됩니다 (√x - 1)(√x - 1)과 같이 됩니다 √x의 제곱은 x이고 √x와 -1의 곱은 -√x입니다 -1에 √x를 곱하면 다시 -√x가 되고 마지막으로 -1에 -1을 곱하면 1이 됩니다 그러므로 이 부분을 정리해보면 x에서 2√x를 빼주고 -√x가 두 번 있으니까 한 개의 항으로 모아줍니다 그리고 마지막에 1을 더해줍니다 이 전체에 dx까지 곱해주고요 이 식을 계산하면 됩니다 π를 먼저 적어준 후에 이 식의 역도함수를 구해봅시다 x의 역함수는 ½x²입니다 그리고 -2를 곱한 후에 √x의 역도함수를 구해보면 √x는 다르게 표현하면 x의 ½제곱이므로 지수를 1 증가시킨 후에 그 역수를 계수에 곱해주면 됩니다 ⅔을 제일 앞에 곱해주면 됩니다 역도함수는 ⅔x^(3/2)가 됩니다 조금 정리하겠습니다 여기 있는 -2는 위의 식에서 가져온 것입니다 그리고 이 뒷부분의 식은 그리고 이 뒷부분의 식은 √x의 역도함수입니다 이 부분의 도함수를 구해보면 지수는 3/2에 ⅔을 곱한 1이 되고 지수는 1 감소한 ½이 됩니다 마지막으로 1의 역도함수를 구하면 그냥 x가 되겠네요 이 식을 1에서 4까지의 범위에서 계산해주면 됩니다 우선 π를 곱한 후에 4를 먼저 대입해줍시다 적으면서 진행해볼까요? 4의 제곱을 2로 나누고 계수 먼저 계산하면 -4/3가 됩니다 4의 3/2제곱은 얼마일까요? 4의 ½제곱이 2이므로 이를 세제곱하면 8이 됩니다 그러므로 8을 곱하고 마지막으로 4를 더해줍니다 이제 1을 대입해서 이 식에서 빼면 됩니다 1의 제곱을 2로 나누면 ½이 됩니다 전체 식에서 빼야 하기 때문에 마이너스 부호를 붙여줍니다 천천히 계산해보도록 하겠습니다 4를 대입한 부분이 이 괄호에 해당합니다 여기에서 1을 대입한 값을 빼면 됩니다 1을 대입한 식은 초록색으로 적도록 하겠습니다 제가 원했던 초록색이 아니네요 1을 대입하면 1의 제곱을 2로 나누면 ½이고 1을 3/2제곱해도 1입니다 그러므로 이 부분은 -4/3가 됩니다 그러므로 이 부분은 -4/3가 됩니다 마지막으로 1을 더해줍니다 이제 이 식을 정리합시다 지금부터는 같은 색으로 할게요 π를 먼저 곱한 후에 첫 항을 계산하면 8이 되고 두 번째 항은 32/3가 됩니다 32/3를 빼고 4를 더합니다 그리고 -½이 있네요 마이너스 부호는 분배하도록 하겠습니다 그러면 4/3를 더하고 1을 빼게 됩니다 이 분수들을 모두 더하면 계산 결과가 나옵니다 답이 얼마인가요? π를 곱해주고 이 모든 분모의 최소공배수가 6이니까 6으로 통분을 해봅시다 6으로 통분을 해봅시다 8은 48/6이고 32/3는 64/6와 같습니다 4는 24/6와 같고 ½은 3/6과 같네요 이를 빼주고 4/3는 8/6과 같습니다 -1은 -6/6으로 고쳐줍니다 분자를 계산해봅시다 48에서 64를 빼면 -16이 됩니다 계산이 맞나요? -16이 됩니다 여기에 24를 더하면 8이 되고 8에서 3을 빼면 5가 됩니다 5에 8을 더하면 13이고 13에서 6을 빼면 7이 됩니다 전체 분자가 7이 되네요 따라서 답은 7π/6입니다 검산을 한번 해볼까요? 48-64는 -16이고 24를 더한 8에 다시 8을 더하면 16이 됩니다 여기에서 9를 빼면 7이 맞네요 답은 7π/6입니다 이 뿔 모양의 부피를 구하면 7π/6가 됩니다 커넥트 번역 봉사단 | 박혜준