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동영상 대본

이번 예제에서는 y축이 아닌 한 수직선을 기준으로 함수를 회전시킬 겁니다 그럼 이제 y=x^2-1의 그래프중 이 부분을 (x>0) 수직선 x=-2를 기준으로 회전시켜보겠습니다 그러면, 이렇게 벨 처럼 생긴 입체를 얻을 수 있습니다 이제 하려는 것은 적분으로 이것의 부피를 구하는 것입니다 그러려면 이렇게 입체의 둘레에 겹치는 원판들을 만듭니다 원판들은 동일하게 두께 dy를 가지며 y에 종속된 면적을 가집니다 그러면 원판의 부피는 원판의 면적 A(y) 곱하기 원판의 두께 dy가 됩니다 이제 주어진 구간에서 이 식을 y에 대하여 적분하면 됩니다 여기서 적분할 구간은 y가 여기, 이 선과 만나는 y = -1지점부터 이 지점까지, y = 3 지점까지로 하겠습니다 즉 y = -1 부터 y = 3 까지입니다 그러면 이 거꾸로 된 젤리 모양 입체의 부피를 나타내는 식을 얻을 수 있습니다 부피 값을 구하기 위한 핵심은, y에 대한 함수인 원판의 면적을 알아내야 한다는 것입니다 우리는 원판의 면적이 파이 곱하기 r(y)의 제곱임을 알고 있지요 ( r(y) : y에 대한 함수인 반지름 r ) 진짜 핵심은, r(y)값을 구간의 모든 y값에 대해 아는 것입니다 즉 r(y)가 무엇인가? 이것이 대해 좀 더 생각해 봅시다 이 곡선은 무엇인가요? 이것을 y에 대한 함수의 형태로 써 봅시다 1을 양 쪽에 더하고 양변을 바꾸면 x^2 = y + 1을 얻습니다 그냥 1을 양쪽에 더하고 양변을 바꿔준 것이죠 그러면 다음 식을 얻을 수 있습니다 x = (y+1)의 제곱근 그러면 이것을 x, 또는 y에 대한 함수 f로 쓸 수 있죠 f는 (y + 1)의 제곱근입니다 그리고 x도 같은 식으로 나타내어 집니다 그렇다면 이 지점에서 이 길이는 어떻게 될까요? 이 길이는-- 수평 방향의 총 거리입니다 이 부분은-- 잘 보이도록 색을 칠하겠습니다 여기 이 부분의 길이는 그냥 아까의 함수 f의 값이 됩니다 f값이 곧 x값이죠 그리고 이 남은 부분에 해당하는 2를 더해야 합니다 즉 r(y)중 이 부분은 (y 더하기 1)의 제곱근으로 나타내어집니다 이것이 y에 대한 함수로 x를 나타내어 곡선 위의 특정 점에 대한 x 값들을 구할 수 있게 됩니다 그리고 여기서, 2를 더해야 합니다 달리 말하면, 이 노란 부분에 해당하는 x 값을 얻고 그 x값에서 x = -2에 해당하는 -2를 빼 준 것입니다 -2를 빼 주므로, 2를 여기 더해야 하죠 다행히도, 이것은 직관적인 느낌을 줍니다 이 x값, 잘 보이게 색을 바꾸도록 하죠 여기 있는 이 거리는 그냥 주어진 y에 대한 함수에서 얻어진 x 값입니다 그러나 전체 반지름은 회전축까지 거리인 2를 더해주어야 합니다 다시 설명하면, 특정한 y을 이렇게 잡으면 그 y로부터 x값을 알고 이 x값이 이 거리를 나타냅니다 전체 반지름을 구하려면 이 x값에서 -2를 빼 주어야 합니다 결과적으로 반지름은 2 증가하게 되죠 즉 r(y)는 이 식과 같습니다 그래서 이 식을 여기 대입하면 부피에 대한 정적분을 쓸 수 있습니다 부피는 구간 -1부터 3 사이에서 파이 곱하기 반지름^2 곱하기 dy 파이는 밖으로 빼도록 하죠 파이 곱하기 반지름 제곱에서 면적은 ((y + 1)의 제곱근 + 2)의 제곱이 되고 높이 dy를 곱하면 부피가 됩니다 이제 정적분을 구했고 이 값을 구하면 됩니다 다음 영상에서 풀기로 하죠 직접 풀어 보세요