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수직선에 대한 원판 적분으로 계산하기

동영상 대본

지난 영상에서는 정적분 식을 세워서 지난 영상에서는 정적분 식을 세워서 거꾸로 서 있는 검드롭 트뤼플같이 생긴 이 물체의 부피를 계산해 보려고 했는데요 이번 영상에서는 정적분 식을 직접 계산해 볼 것입니다 이 표현을 풀어쓰면 되는데요 (√(y+1) +2)² 를 풀어쓰면 됩니다 해 봅시다 이 식은 π 와 적분식을 곱한 값 y가 -1부터 3까지 적분한 값을 곱해준 것과 같습니다 이 식을 풀어서 써 보면 (√(y+1))² = y+1 이 되고 다음으로 두 항을 곱한 값의 2배에 해당하는 값이 나옵니다 2곱하기 2곱하기 √(y+1) 이는 4곱하기 √(y+1) 이 됩니다 다음으로 2의 제곱, 즉 4를 더하면 됩니다 이 전체에 dy를 곱하면 됩니다 조금 더 단순하게 만들면 1과 4의 상수가 있으니 1+4=5 가 됩니다 이제 역도함수를 구할 수 있습니다 역도함수는 π 곱하기 이 식의 역도함수를 구해 봅시다 π 곱하기 다른 색을 이용해 보겠습니다 y의 역도함수는 y² 이고 4√(y+1)의 역도함수는 4√(y+1)의 역도함수는 4√(y+1)의 역도함수는 변수 u를 대입하여 적분할 수 있습니다 이 부분에서는 충분히 연습이 되었을 것이므로 머릿속으로 계산할 수 있을 것입니다 √(y+1)이 있습니다 y+1의 도함수는 그냥 1이고 이 식에 당연히 존재하는 것이지요 u로 치환할 경우 u=y+1이라고 하겠지요 그러나 이 역도함수는 지수를 올려주면 3/2 곱하기 2/3가 됩니다 2/3 곱하기 4는 8/3입니다 8/3 곱하기 (y+1)^(3/2)이 됩니다 확인해 보세요 도함수를 이 식에 집어넣으면 이 식을 얻게 됩니다 3/2 곱하기 8/3은 4 지수가 줄어들어서 √(y+1)이 됩니다 마지막으로 어떤 색을 아직 사용하지 않았나요? 마지막으로 5가 남았습니다 5의 역도함수는 그냥 5y입니다 이를 y=-1부터 3까지 적분하면 됩니다 y=-1부터 y=3까지 이 값은 π와 같습니다 이 식을 3에서 적분해 봅시다 3의 제곱 나누기 2는 9/2이고 3+1=4 이고 4^(3/2)이 됩니다 이 값이 어떻게 되냐면 4의 제곱근 2를 세제곱하면 8이고, 8 곱하기 8/3은 64/3이므로 64/3를 더해주면 됩니다 다음으로 5 곱하기 3이 있는데요 15가 되므로 15를 더해주면 됩니다 여기서 우리는 -1을 대입하였을 때의 값을 빼 주어야 합니다 -1의 제곱 나누기 2는 1/2입니다 -1 더하기 1은 0이고 0 곱하기 8/3은 0이니까 굳이 쓸 필요가 없겠네요 마지막으로 -1 곱하기 5입니다 -5가 됩니다 이제 마지막 단계입니다 산수만 조금 하면 되는데요 여기 나온 분수들을 더하기만 하면 됩니다 해 봅시다 이 모든 것은 π 곱하기 계산해 봅시다 분모들의 최소공배수는 6입니다 모든 분수의 분모를 6으로 통일시킵시다 9/2는 27/6과 같은 수이고 64/3는 128/6과 같은 수입니다 64/3는 128/6과 같은 수입니다 15는 90/6과 같은 수입니다 15는 90/6과 같은 수입니다 1/2은 3/6과 같은 수입니다 음의 부호를 그대로 가져오면 -3/6이 됩니다 음수 곱하기 음수는 양수인데요 5는 30/6과 같은 수이므로, 30/6이 됩니다 계산 결과는 공통분모가 6이 될 것이고 계산 결과를 π와 곱해야 합니다 여기 π가 있네요 다음으로 분자가 무엇인지만 알아내면 됩니다 암산으로 할 수 있는지 한 번 봅시다 27 더하기 128은 잠시만요 140인가요, 155인가요? 맞나요? 155인가요? 직접 계산해보겠습니다 155가 맞네요 90을 더하면 245가 됩니다 맞지요? 맞네요 90을 더하면 245가 되고 3을 빼면 242가 됩니다 여기에 30을 더하면 272가 되고 결국 272 곱하기 π 나누기 6이 되네요 이때 무엇을 할 수 있을까요 272와 6 모두 2로 나누어지네요 따라서 이는 272를 2로 나누면 분자는 136 곱하기 π 가 되고 분자를 2, 아니 3으로 나누면 맞나요? 맞네요 136 π /3 이 됩니다 136은 3으로 나눌 수 없지요 최대한 약분을 했습니다 이것이 곧 거꾸로 선 검드롭처럼 생긴 물체의 부피입니다 커넥트 번역 봉사단 | 서윤아