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주요 내용
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동영상 대본

여기에 있는 그래프는 여기에 있는 그래프는 y = x²의 그래프입니다 이번 동영상에서 해 볼 것은 정적분을 이용해 부피를 계산하는 것입니다 그 전에 일반적인 정적분이 무엇을 계산하는 것인지를 다시 복습해보도록 하겠습니다 0에서 2까지 x²의 정적분이 의미하는 바는 무엇입니까? 이 적분의 범위는 x = 0에서부터 x = 2까지입니다 이 범위 내의 각각의 x에 대해 아주 작은 변화량인 dx를 생각해봅시다 dx를 그 위치에서의 함숫값인 x²과 곱하면 이 직사각형에서의 밑변과 높이를 곱한 것이므로 방금 계산한 값은 이 작은 직사각형의 넓이가 됩니다 적분 기호가 의미하는 바는 x가 0 이상 2 이하인 범위에서 작은 직사각형의 넓이를 모두 더하는 것이고 dx의 길이는 계속 짧게 만들어서 0은 아니지만 0에 가까워지도록 만들어주면 무한개의 직사각형의 넓이의 합을 얻겠죠 그것이 이 정적분의 의미입니다 dx의 길이가 점점 짧아지므로 각각의 직사각형은 점점 얇아집니다 동시에 직사각형의 개수도 점점 많아질 것이므로 이 값은 곡선과 x축 사이 넓이의 더 좋은 근삿값이 되겠죠 결국 곡선과 x축 사이의 넓이를 구할 수 있는 것입니다 이번에는 같은 방법을 이용해서 곡선 아래의 넓이를 구하는 것이 아니라 이 곡선을 x축에 대해 회전시켜서 나온 입체도형의 부피를 구해보도록 하겠습니다 우선 이 곡선을 x축에 대해 회전시켜 얻은 입체도형이 어떻게 생겼는지 알아보도록 하겠습니다 그 도형의 밑면은 지금 그리고 있는 원 모양으로 나타나게 됩니다 밑면이 아닌 0과 2 사이의 나머지 부분에서는 지금 그리고 있는 모양과 같이 도형이 그려지게 됩니다 명암 표시도 조금 할까요? 이런 입체도형이 완성됩니다 이 동영상에서 구해볼 것은 이 입체도형의 전체 부피입니다 이 도형을 다른 각도에서 그려보도록 하겠습니다 이렇게 그려보니 모자와 비슷한 모양이네요 윗부분은 뾰족하고 아래로 갈수록 단면적이 커집니다 이 방향에서 바라보니 밑면이 보이지 않네요 이 상황에서 각각의 축은 어디에 있을까요? y축은 이렇게 그려집니다 y축은 이렇게 그려집니다 그리고 x축은 이 도형 안으로 들어가서 반대쪽을 뚫고 나옵니다 만약 이 도형이 투명했다면 이 도형의 뒷부분을 볼 수 있었겠죠 그 뒷부분은 이 점선처럼 생겼을 겁니다 만약 x축도 볼 수 있다면 x축은 도형의 밑면과 이 점에서 교차하여 도형을 뚫고 나오는 모양일 것입니다 이것은 이 도형을 그리는 방법의 하나입니다 다른 여러 방면에서 본 모양으로도 그릴 수 있지요 이 도형의 부피는 어떻게 구할 수 있을까요? 이 작은 직사각형들의 넓이가 아닌 이 직사각형들 각각을 x축에 대해 회전시킨 도형에 대해 살펴봅시다 작은 직사각형 중 여기 dx를 폭으로 하는 직사각형을 x축에 대해 회전시킵니다 x축에 대해 회전시킵니다 x축에 대해 회전시킵니다 x축에 대해 회전시킵니다 어떻게 되나요? 어떻게 되나요? 동전처럼 생긴 입체가 되는군요 원판 모양으로 말이죠 여기 오른쪽 그림에서도 그려보도록 하겠습니다 그려보도록 하겠습니다 높이가 dx가 되겠네요 이 원판의 부피는 어떻게 구하면 될까요? 그림 밖에도 다시 그려보겠습니다 이 도형을 잘 시각화하는 것은 정말 중요합니다 이게 x축이라면 원판은 이렇게 생겼겠네요 x축이 원판의 가운데를 뚫고 나오게 그려줍니다 이게 원판의 밑면이 되고 높이는 dx입니다 잘 그려진 것 같네요 명암 처리도 해보겠습니다 명암 처리도 해보겠습니다 이 도형의 부피는 어떻게 구할까요? 다른 원기둥의 부피를 구할 때와 같이 이 원기둥의 밑면의 면적을 구한 후에 높이를 곱해주면 됩니다 이 면의 넓이는 얼마죠? 이미 다 알듯이 원의 넓이는 πr²입니다 그러므로 이 밑면의 반지름을 안다면 밑면의 넓이를 구할 수 있겠네요 그럼 반지름의 길이는 얼마입니까? 반지름의 길이는 원래 직사각형의 높이와 같습니다 그리고 모든 x에 대해 그 값은 f(x)의 값과 같지요 이 예시에서 f(x)는 x²과 같습니다 따라서 이 원판의 반지름은 x⁴이네요 따라서 이 원판의 반지름은 x⁴이네요 따라서 어떠한 x에 대해서 밑면의 넓이는 π(f(x))²이 됩니다 이 경우 f(x)=x²이고요 이 경우 f(x)=x²이고요 그렇다면 부피는 어떻게 됩니까? 부피는 밑면의 넓이에 높이를 곱하면 되므로 dx를 곱해주면 됩니다 dx를 곱해주면 됩니다 그러므로 여기 있는 동전 모양의 도형의 부피를 계산하면 밑면의 넓이와 높이의 곱과 같으므로 π(x²)²dx가 됩니다 다르게 표현하면 πx⁴dx가 되겠죠 πx⁴dx가 되겠죠 한 개의 원판의 부피일 뿐입니다 우리가 구하고자 하는 것은 이 뿔 모양의 도형의 전체 부피입니다 전체 부피입니다 어떻게 계산하면 될까요? 이전과 같은 방법을 적용합니다 이 원판의 부피를 모두 더하는 것이지요 한번 해보겠습니다 색은 한 가지로 쓰겠습니다 πx⁴dx을 모두 더할 겁니다 x의 범위는 0부터 2까지입니다 아까 시작할 때 정한 범위였죠 그냥 임의의 값을 정한 겁니다 0과 2가 아니더라도 어떤 x에 대해서도 가능합니다 여기서는 0부터 2까지로 하겠습니다 이 범위에서 모든 동전 모양의 도형의 넓이를 더해줍니다 이때 원판의 넓이를 점점 줄이면 동전의 개수는 점점 많아질 것이므로 극한을 취하면 우리가 얻고자 했던 뿔 모양의 도형의 부피를 구할 수 있게 됩니다 그러므로 이 정적분을 계산하면 구하고자 했던 부피가 되는 것이지요 한번 해보도록 하겠습니다 이제부터는 그냥 정적분입니다 영상을 보기 전에 먼저 계산해보시기를 권해드립니다 π를 밖으로 꺼내면 0에서 2까지 ∫x⁴dx의 값에 π를 곱해준 것과 같게 됩니다 색이 조금 마음에 들지 않네요 x⁴의 역도함수는 x^5 / 5입니다 그러므로 π에 x^5 / 5를 곱하고 x에 0과 2를 넣어서 계산해주면 되겠네요 2를 먼저 대입해봅시다 2를 먼저 대입해봅시다 2의 세제곱은 8입니다 2의 네제곱은 16이고요 2의 다섯제곱은 얼마일까요? 2의 다섯제곱에서 0의 다섯제곱을 뺀 값은 2의 다섯제곱은 32이고 0의 다섯제곱은 그냥 0이므로 32/5의 값에 π를 곱해주기만 하면 됩니다 다 되었네요 저 뿔 모양의 부피를 구하는데 성공했습니다 커넥트 번역 봉사단 | 박혜준